Волновое уравнение с правой частью

[Rat]

Здравствуйте!

Помогите, пожалуйста, со следующей задачей.

$$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} - c^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}=A \sin (\omega t + k x)$$

Есть ли какие-то особые методы решения таких уравнений в случае периодической правой части? Мне говорили про интеграл Фурье что-то.

Вы могли бы объяснить или посоветовать литературу. Спасибо.

[V.V.]

Может, про преобразование Фурье?

Применяете преобразование Фурье по $x$, получаете обыкновенное дифференциальное уравнение, решаете его, применяете к решению ОДУ обратное преобразование Фурье.

[alex-basik]

Приведите ваше уравнение к каноническому виду. Затем два раза проинтегрировав найдете то, что в литературе называют общим решением уравнения гиперболического типа.

[Rat]

Спасибо за ответы!

V.V. писал(а):

Может, про преобразование Фурье?

Применяете преобразование Фурье по $x$, получаете обыкновенное дифференциальное уравнение, решаете его, применяете к решению ОДУ обратное преобразование Фурье.

Если я ничего не путаю, то получается

$$\frac{d^2U}{dt^2} + c^2 \omega^2 U = iA \sqrt{\frac{\pi}{2}} \left (e^{-i \omega t} \delta (\omega - k) - e^{i \omega t} \delta (\omega + k) \right)$$

(это правильно?)

А как решать ОДУ с такой правой частью?

alex-basik в сообщении #198730 писал(а):

Приведите ваше уравнение к каноническому виду. Затем два раза проинтегрировав найдете то, что в литературе называют общим решением уравнения гиперболического типа.

Ну то, что у меня приведено - один из канонических видов уравнения гиперболического типа (между нами говоря). Вы имеете в виду, очевидно, другой канонический вид

$$\frac{\partial^2 u}{\partial \xi \partial \eta} = F(\xi, \eta)$$

[alex-basik]

Конечно, именно этот вид удобен для интегрирования.

[Александр Т.]

Rat писал(а):

Здравствуйте!

Помогите, пожалуйста, со следующей задачей.

$$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} - c^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}=A \sin (\omega t + k x)$$

Есть ли какие-то особые методы решения таких уравнений в случае периодической правой части? Мне говорили про интеграл Фурье что-то.

Вы могли бы объяснить или посоветовать литературу. Спасибо.

Как и для линейных неоднородных обыкновенных дифференциальных уравнений общее решение этого линейного неоднородного уравнения в частных производных есть сумма общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного.

Частное решение этого уравнения легко получить, ищя его в виде $B\sin (\omega t + k x)$. Про общее решение соответствующего однородного уравнения (это будет, как отмечено в названии темы, волновое уравнение) во многих книжках можно прочитать, например в известной книге Тихонова и Самарского.

Далее полученное таким образом общее решение нужно в граничные условия подставлять.

[Zai]

Rat писал(а):

$$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} - c^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}=A \sin (\omega t + k x)$$

Ваше уравнение описывает возникновение бегущей волны под действием распределенного ускорения. Скорость движения возмущения $V= \frac {\omega} k
Если Вы сделаете соответствующее преобразование координат, правая часть будет только функцией координат и можно получить частное решение. Для последующего решения по всей видимости нужно разделить случаи $V<c,$V=c,$V>c,

[V.V.]

Rat писал(а):

Если я ничего не путаю, то получается

$$\frac{d^2U}{dt^2} + c^2 \omega^2 U = iA \sqrt{\frac{\pi}{2}} \left (e^{-i \omega t} \delta (\omega - k) - e^{i \omega t} \delta (\omega + k) \right)$$

(это правильно?)

А как решать ОДУ с такой правой частью?

Также, как и с любой другой правой частью.

По формуле Коши частное решение уравнения
$\frac{d^2U}{dt^2} + c^2 \omega^2 U =f(t)$
находится по формуле
$\bar{U}(t,\omega)=\int\limits_0^t \frac{\sin(c\omega (t-\tau))}{c\omega}f(\tau)\,d\tau$.

[Rat]

V.V. в сообщении #198856 писал(а):

Также, как и с любой другой правой частью.

Просто интересно добить до конца этот подход.

У меня получается решение

$$U=C_1 \cos (Bt) + C_2 \sin (Bt) -i A e^{-i \omega t} \sqrt{\pi/2} \frac{ (e^{2i \omega t} \delta(k + \omega))}{B^2 - \omega^2}$$

Обратное преобразование Фурье дает

$$u(x,t)= \sqrt{2 \pi} ( C_1 \cos (Bt) \delta (x) + C_2 \sin (Bt) \delta(x)) + \frac{A \sin (\omega t + kx)}{B^2 - \omega^2}$$

Из требований ограниченности решения дельта функции надо отбросить, наверное. И тогда решение не зависит от граничных условий. Бред какой-то.

А вот, например, решение уравнения методом разделения переменных (метод Фурье) должно ведь дать бесконечный ряд (потому что правая часть раскладывается по собственным функциям задачи Штурма-Лиувилля в бесконечный ряд).

[V.V.]

А откуда вдруг взялись граничные условия?

Вы условий вначале не написали. Из этого естественно было сделать вывод, что вам нужно общее решение. Ну, или решение задачи Коши...

[Rat]

V.V. в сообщении #200130 писал(а):

А откуда вдруг взялись граничные условия?

А что, я все правильно сделала разве?

V.V. в сообщении #200130 писал(а):

Вы условий вначале не написали. Из этого естественно было сделать вывод, что вам нужно общее решение. Ну, или решение задачи Коши...

Ну общее решение уравнения второго порядка должно зависеть от констант. Оно и зависит. Я накладываю требования конечности решения. И оно прекращает зависеть.
Методом разделения переменных такого явно не получится.