тригонометрическое уравнение

[fraktal]

Решите уравнение:

2^1\sin(x+1( \frac{\pi }{3}))+2^2\sin(x+2(\frac{\pi }{3}))+...+2^{99}\sin(x+99(\frac{\pi }{3}))=0

[PAV]

Непонятно, что такое $\prod / 3$. Может быть, имеется в виду $\pi/3$ ?

[fraktal]

PAV писал(а):

Непонятно, что такое $\prod / 3$. Может быть, имеется в виду $\pi/3$ ?

да, конечно, сначала не нащел этот знак
спасибо

[V.V.]

Задачка в конкурсе задач журнала "Математика в школе". №7.

Последний срок отправления работ - 31 октября.

[fraktal]

ап

[Someone]

В Вашей формуле систематически не хватает правых скобок. Вокруг формулы полагается писать знаки доллара (одиночные или двойные), дробь кодируется как \frac{числитель}{знаменатель}, а синус (и многие другие функции) кодируется как \sin.

А Вы не пробовали к комплексным числам перейти? Там, вроде бы, геометрические прогрессии получаются.

[fraktal]

Я полагаю теория комплексных чисел здесь не подразумевается, т.к. олимпиада школьного уровня.

[vlad239]

Заметим, что синусы периодичны с периодом 6. Упростите это выражение и сведите задачу к обычному школьному уравнению (коэффициентами при всяких синусах будут суммы конечных геометрических прогрессий).

Влад.

[VivaKalman]

Могу только запсиать отрывки решений, потому как, сам не знаю как в точности выполняется решение, ибо считала машина) Значит преобразование выглядит так: $\sum\limits_{k=1}^{99} (2^k\,\sin(x+(\pi/3)\,k\)) = 2\,\cos \left( x+\pi/6\ \right) -4\,\sin \left( x \right) +\sin \left( x+\pi/3\ \right) $
А ответ такой: $x=-\pi/6\ +\arctan \left( {2\,\cos(\pi/6) \right) $
И конечный $x=\pi/6 $
Как преобразовать не знаю... Но есть к чему двигаться.
Уж не знаю пригодится ли вам такая информация, но очень рекомендую научиться пользоваться математическими пакетами .

[RamsesHawk]

Рассмотрим более сложную функцию:

$$f(x) = \sum\limits_{k=1}^{n}{a^{k} \cdot \sin \left( x + k \cdot \phi \right) }.$$

Используя формулу для синуса суммы, получим:

$$f(x) = \sin(x)\cdot \sum\limits_{k=1}^{n}{a^{k} \cdot \cos\left(k \cdot \phi \right)} + \cos(x)\cdot \sum\limits_{k=1}^{n}{a^{k} \cdot \sin\left(k \cdot \phi \right)} = C_{n}(a,\phi)\cdot\sin(x) + S_{n}(a,\phi)\cdot\cos(x).$$

Теперь рассмотрим:

$$f(\phi) = C_{n}(a,\phi)\cdot\sin(\phi) + S_{n}(a,\phi)\cdot\cos(\phi) = \sum\limits_{k=1}^{n}{a^{k} \cdot \sin \left( (k+1) \cdot \phi \right) } = \frac{1}{a}\cdot \sum\limits_{k=1}^{n}{a^{k+1} \cdot \sin \left( (k+1) \cdot \phi \right) } = \frac{1}{a} \cdot \left( S_{n}(a,\phi) - a\cdot \sin(1\cdot\phi) + a^{n+1}\cdot\sin((n+1)\cdot\phi) \right) ,$$

$$f(-\phi) = -C_{n}(a,\phi)\cdot\sin(\phi) + S_{n}(a,\phi)\cdot\cos(\phi) = \sum\limits_{k=1}^{n}{a^{k} \cdot \sin \left( (k-1) \cdot \phi \right) } = a \cdot \sum\limits_{k=1}^{n}{a^{k-1} \cdot \sin \left( (k-1) \cdot \phi \right) } = a \cdot \left( S_{n}(a,\phi) + a^{0} \cdot \sin(0\cdot\phi) - a^{n}\cdot\sin(n \cdot\phi) \right) .$$

Складывая последние два уравнения, получим:

$$S_{n}(a,\phi)\cdot\cos(\phi) \cdot\left(a + \frac{1}{a} - 2 \right) = \left( a^{n+1}\cdot\sin((n+1)\cdot\phi) - a^{n}\cdot\sin(n\cdot\phi) - (a\cdot\sin(\phi) - a^{0}\cdot\sin(0\cdot\phi)) \right) .$$

Дальнейшие преобразования предлагаю сделать Вам...