Теорема Чезаро о числовых рядах

[matan]

Помогите пожалуйста доказать следующее утверждение:

Пусть $\mathop {\left\{ {a_n } \right\}}\nolimits_{n = 0}^\infty $ и $\mathop {\left\{ {b_n } \right\}}\nolimits_{n = 0}^\infty$ две числовые последовательности. Из трех условий
1)

\[\forall n:b_n > 0 \]

2)

\[ \sum\limits_{n = 0}^\infty {b_n } t^n \]

сходится при |t|<1 и расходится при |t|=1
3)

\[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{a_n }}{{b_n }} = c\]

вытекает,что ряд

\[\sum\limits_{n = 0}^\infty {a_n } t^n \]

сходится при |t|<1
и

\[\mathop {\lim }\limits_{t \to 1 - 0} \frac{{\sum\limits_{n = 0}^\infty {a_n t^n } }} {{\sum\limits_{n = 0}^\infty {b_n t^n } }} = c \]

Я нашел доказательство в книге Полиа,Сеге "Задачи и теоремы из анализа", но никак не могу в нем разобраться. Ниже привожу данное там доказательство
----------------------------------------------------------------------------------
Лемма.
Пусть для каждой сходящейся числовой последовательности

\[ \mathop {\left\{ {s_n } \right\}}\nolimits_{n = 0}^\infty \]

имеем:

\[ \mathop {\lim }\limits_{t \to 1 - 0} (s_0 \phi _0 (t) + ... + s_n \phi _n (t) + ...) = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } s_n \]

Для этого необходимо и достаточно, чтобы для каждого фиксированого

\[ \nu \]

\[ \mathop {\lim }\limits_{t \to 1 - 0} \phi _\nu (t) = 0 \]

Далее собственно доказательство теоремы:

Полагаем в Лемме

\[ s_n = \frac{{a_n }} {{b_n }} \]

и

\[ \phi _n (t) = \frac{{b_n t^n }} {{\sum\limits_{n = 0}^\infty {b_n t^n } }} \]

Пусть заданы

\[ \nu \]

и

\[ \varepsilon > 0 \]

выберем n столь большим, чтобы выполнялось неравенство:

\[ b_0 + ... + b_n > \frac{{b_\nu }} {\varepsilon } \]

, тогда
Предел последнего выражения при

\[ t \to 1 - 0 \]

будет меньше

\[ \varepsilon \]

----------------------------------------------------------------------------------

Если кто-нибудь может, объясните мне пожалуйста как доказывается лемма и почему в док-ве теоремы выполняется неравенство

\[ \phi _\nu (t) < \frac{{b_\nu t^\nu }} {{b_0 + ... + b_n t^n }} \]

[Brukvalub]

matan в сообщении #198556 писал(а):

Лемма.
Пусть для каждой сходящейся числовой последовательности

\[ \mathop {\left\{ {s_n } \right\}}\nolimits_{n = 0}^\infty \]

имеем:

\[ \mathop {\lim }\limits_{t \to 1 - 0} (s_0 \phi _0 (t) + ... + s_n \phi _n (t) + ...) = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } s_n \]

Для этого необходимо и достаточно, чтобы для каждого фиксированого

\[ \nu \]

\[ \mathop {\lim }\limits_{t \to 1 - 0} \phi _\nu (t) = 0 \]

Что-то в этой лемме не так... Достаточно в качестве контрпримера рассмотреть случай, когда все \phi _n (t)\] тождественно равны нулю.

[AD]

Не-не-не, там все $b_n$ строго больше нуля, и, следовательно, $\phi_n$ аккуратно пронормированы.

[Brukvalub]

AD в сообщении #198588 писал(а):

Не-не-не, там все $b_n$ строго больше нуля, и, следовательно, $\phi_n$ аккуратно пронормированы.

Ваше "Не-не-не" означает, что лемма верна в процитированном виде?

[matan]

Там в книге в предыдущей задаче есть такое утверждение:

функции

\[ \phi _0 (t)...\phi _n (t)... \]

неотрицательны в интервале (0,1)
и выполняется тождество

\[ \phi _1 (t) + ... + \phi _n (t) + ... = 1 \]

\[ s_0 ...s_n ... \]

ограниченная числовая последовательность

\[ \Phi (t) = s_0 \phi _0 (t) + ... + s_n \phi _n (t) + ... \]

Тогда значения функции

\[ \Phi (t) \]

будуд заключены между нижней и верхней гранями последовательности

\[ s_0 ...s_n ... \]

Может нужно сначала доказать ЭТО утверждение???

[AD]

2 Brukvalub: Не, эт я просто с конца начал читать Да, бредятина.

Но верно ли для подставляемых туда $\phi_n$ - хорошо сбалансированная путаница (то есть я не особо думал, но вроде правдоподобно)

upd: А, вон оно как, обозначения просто до нас не донесли сразу.

Добавлено спустя 2 минуты 16 секунд:

matan в сообщении #198602 писал(а):

Может нужно сначала доказать ЭТО утверждение???

Напоминает выпуклую комбинацию, только с счетным числом слагаемых, правда ведь? То есть для конечных сумм тривиально.

[matan]

Значит доказательство будет выглядеть так?

Лемма1
функции

\[ \phi _0 (t)...\phi _n (t)... \]

неотрицательны в интервале (0,1)
и выполняется тождество

\[ \phi _1 (t) + ... + \phi _n (t) + ... = 1 \]

\[ s_0 ...s_n ... \]

ограниченная числовая последовательность

\[ \Phi (t) = s_0 \phi _0 (t) + ... + s_n \phi _n (t) + ... \]

Тогда значения функции

\[ \Phi (t) \]

будуд заключены между нижней и верхней гранями последовательности

\[ s_0 ...s_n ... \]

Лемма2
При выполнении условий леммы1
Пусть для каждой сходящейся числовой последовательности

\[ \mathop {\left\{ {s_n } \right\}}\nolimits_{n = 0}^\infty \]

имеем:

\[ \mathop {\lim }\limits_{t \to 1 - 0} (s_0 \phi _0 (t) + ... + s_n \phi _n (t) + ...) = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } s_n \]

Для этого необходимо и достаточно, чтобы для каждого фиксированого

\[ \nu \]

\[ \mathop {\lim }\limits_{t \to 1 - 0} \phi _\nu (t) = 0 \]

Ну а дальше как впервом сообщении???

[Brukvalub]

Думаю - да.

[matan]

Теперь бы кто-нибудь объяснил как доказываются леммы

[ewert]

Не знаю, как доказываются леммы (лень разбираться в их формулировке), а вот задача решается вроде бы просто. Сходимость ряда для $\{a_k\}$ внутри единичного круга тривиальна. Обозначим $a_k=c\,b_k+\varepsilon_kb_k$, где $\varepsilon_k\to0$ при $k\to\infty$. Собственно, надо доказать, что при $t\to1-0$

$$(1) \qquad \left|\sum_{k=0}^{\infty}\varepsilon_kb_kt^k\right| \ll \sum_{k=0}^{\infty}b_kt^k.$$

Выберем $M(t)\to+\infty$ при $t\to1-0$ так, что

$$(2) \qquad \sum_{k=0}^{M(t)}b_kt^k \sim \sum_{k=0}^{M(t)}b_k$$

(ну хотя бы $M(t)=\left[1/\sqrt{1-t}\,\right]$, но не суть). Далее, выберем $\alpha(t)$ тоже стремящимся к бесконечности при $t\to1-0$, но настолько медленно, что

$$(3) \qquad \sum_{k=0}^{\alpha(t)}b_k \ll \sum_{k=0}^{M(t)}b_k$$

(это можно сделать, т.к. $\sum_{k=0}^{\infty}b_k=+\infty$ и, следовательно, (3) заведомо выполнено при любом при $\alpha(t)=\const$). Из (3) с учётом (2) следует, что при $t\to1-0$

$$(4) \qquad \left|\sum_{k=0}^{\alpha(t)}\varepsilon_kb_kt^k\right| \leqslant \mathrm{const}\cdot\sum_{k=0}^{\alpha(t)}b_kt^k \ll \sum_{k=0}^{\infty}b_kt^k.$$

С другой стороны, очевидно, что

$$(5) \qquad \left|\sum_{k=\alpha(t)+1}^{\infty}\varepsilon_kb_kt^k\right| \leqslant \left|\sum_{k=\alpha(t)+1}^{\infty}b_kt^k\right| \cdot \sup\limits_{k>\alpha(t)}|\varepsilon_k| \ll \sum_{k=0}^{\infty}b_kt^k.$$

В совокупности (4) и (5) дают (1).

Добавлено спустя 1 час 16 минут 22 секунды:

--------------------------------------------------------------------------------
Всё же насчёт лемм.

matan в сообщении #199164 писал(а):

Лемма1
функции

\[ \phi _0 (t)...\phi _n (t)... \]

неотрицательны в интервале (0,1)
и выполняется тождество

\[ \phi _1 (t) + ... + \phi _n (t) + ... = 1 \]

\[ s_0 ...s_n ... \]

ограниченная числовая последовательность

\[ \Phi (t) = s_0 \phi _0 (t) + ... + s_n \phi _n (t) + ... \]

Тогда значения функции

\[ \Phi (t) \]

будуд заключены между нижней и верхней гранями последовательности

\[ s_0 ...s_n ... \]

Ну это просто банальность.

matan в сообщении #199164 писал(а):

Лемма2
При выполнении условий леммы1
Пусть для каждой сходящейся числовой последовательности

\[ \mathop {\left\{ {s_n } \right\}}\nolimits_{n = 0}^\infty \]

имеем:

\[ \mathop {\lim }\limits_{t \to 1 - 0} (s_0 \phi _0 (t) + ... + s_n \phi _n (t) + ...) = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } s_n \]

Для этого необходимо и достаточно, чтобы для каждого фиксированого

\[ \nu \]

\[ \mathop {\lim }\limits_{t \to 1 - 0} \phi _\nu (t) = 0 \]

А вот это -- действительно лемма. Прежде всего, достаточно рассматривать случай $s_k\to0$ (т.е. утверждение леммы верно для любой сходящейся последовательности тогда и только тогда, когда это утверждение верно для любой последовательности, сходящейся к нулю). Необходимость очевидна (если, например, $\varphi_0(t)\not\to0$, то $\sum s_k\varphi_k(t)\not\to0$ на последовательности $\{s_k\}=\{1,0,0,0,\dots\}$). Для доказательства достаточности разобъём ряд на две суммы:

$$\sum_{k=0}^{\infty}s_k\varphi_k(t)=\sum_{k=0}^{M}s_k\varphi_k(t)+\sum_{k=M+1}^{\infty}s_k\varphi_k(t).$$

Вторая сумма не превосходит по модулю величины $\varepsilon(M)\equiv\sup\limits_{k>M}|s_k|\to0$ при $M\to\infty.$ Первая -- стремится к нулю при $t\to1-0$ для каждого фиксированного $M$. Следовательно, можно выбрать $M=M(t)\to\infty$ так, что каждая из этих двух сумм стремится к нулю при $t\to1-0$.