задача по функану

[id]

Если доказываемое утверждение верно, то получим же вроде как только мажорируемость, не эквивалентность.

А Лемма такая точно есть.

[ASA]

ewert писал(а):

ASA в сообщении #196456 писал(а):

Это верно в гильбертовых.

Возьмите прямую сумму двух неортогональных подпространств (плоский аналог: разложите вектор по двум неперпендикулярным осям).

Согласен. Для гильбертовых верно для ортогональных подпространств. Да и норма ОРТОпроектора не превосходит 1 . И все же, кажется, $A_1$, $A_2$ ограничены.

[ewert]

Здесь действительно всё вертится вокруг теоремы Банаха-Штейнгауза, но всё же не напрямую. Отталкиваемся от теоремы о замкнутом графике:

"Линейное отображение из банахова пространства $Z$ в банахово пространство $X$, определённое на всём $Z$, ограничено тогда и только тогда, когда его график замкнут."

Здесь под графиком отображения $A$ понимается линейное подмножество $G_A\equiv\{(z;Az)\}_{\forall z}$ декартового произведения $Z\times X$; последнее представляет собой банахово пространство относительно естественной нормы $\|(z;x)\|\equiv\|z\|+\|x\|$.

Так вот. Пусть $X\oplus Y=Z$. Пусть $A$ -- "проектор" на $X$ в том смысле, что каждому $z\in Z$ он ставит в соответствие единственный $x\in X$ из разложения $x+y=z, \ y\in Y$. Если все три подпространства $X$, $Y$ и $Z$ замкнуты, то и график этого оператора тоже замкнут. Действительно, из $(z_n;Az_n)\to(z;x)$ следует $z_n\to z$ и $x_n\equiv Az_n\to x$, но тогда и $y_n\equiv z_n-x_n\to y\in Y$. Это означает, что $z=x+y$, где $x\in X$ и $y\in Y$, т.е. предельная точка $(z;x)\in G_A$.

Следовательно, по теореме о замкнутом графике оператор $A$ ограничен, а ровно это и требовалось доказать.

(Ну можно ещё сослаться не на теорему о замкнутом графике, а, скажем, на теорему о непрерывности обратного; а вот как так сходу и непосредственно на Банаха-Штейнгауза -- не знаю.)

[ASA]

[Dandan]

ну так это известный факт, что подпространства замкнуты тогда и только тогда, когда соответствующие проекторы ограничены (в одну сторону доказывается как раз по теореме о замкнутом графике). Причем тут к этой задаче Банаха-Штейнгауза абсолютно не понятно. В теореме БШ если семейство операторов конечно, то она ваще бессмысленна

[g-a-m-m-a]

ewert писал(а):

(Ну можно ещё сослаться не на теорему о замкнутом графике, а, скажем, на теорему о непрерывности обратного; а вот как так сходу и непосредственно на Банаха-Штейнгауза -- не знаю.)

Ага решили вчера все таки через непрерывность обратного

[ewert]

Обратного к $U:\ (z;Az)\mapsto z$ ?

[g-a-m-m-a]

ewert писал(а):

Обратного к $U:\ (z;Az)\mapsto z$ ?

обратного к $U:\,L_1\times L_2\to X$ по правилу $U(x_1,x_2)=x_1+x_2$

[ewert]

Да, так совсем просто.

[g-a-m-m-a]

Еще такая задачка: пусть $x(t)\in\mathbb C[-1,1],\,f_\varepsilon(x)=\frac{1}{2\varepsilon}\left[x(\varepsilon)-x(-\varepsilon)\right],\,f_0=x'(0).$ Доказать, что f_\varepsilon\not\to f_0 при \varepsilon\to0.

[ewert]

Контрпример: $x(t)=t+1$.

[g-a-m-m-a]

почему?

[ewert]

У Вас там, якобы, конечноразностная производная не имеет права стремиться к производной в нуле. А почему, собственно?

(я, собственно, смутно начинаю догадываться, что Вы имели в виду; но почему бы и формулировку не уточнить?)

[g-a-m-m-a]

ewert писал(а):

У Вас там, якобы, конечноразностная производная не имеет права стремиться к производной в нуле. А почему, собственно?

(я, собственно, смутно начинаю догадываться, что Вы имели в виду; но почему бы и формулировку не уточнить?)

А что конкретно нужно уточнить?

[ewert]

Что в точности означает утверждение $f_\varepsilon\not\to f_0$ -- и за какими исключениями?

(честно, мне лень додумывать)