Хорды-касательные

[yla]

Решаю такое задание: комбинированным методом хорд и касательных решить уравнение 2x^3-3x^2-12x+10, вычислив корни с точностью до 0,001.
Начало моего решния:
1) Сначала отделим корни графическим, к примеру, методом
Представлю ф-ю в виде двух: 2x^3 и 3x^2+12x-10. Построю графики этих функций. Абсцисса точки пересечения принадлежит отрезку [0;1]. Значит, корень ур-я принадл. отрезку [0;1].
Уточним его методом хорд-касательных
1) вычислим значения ф-и на концах отрезка
f(0)=10; f(1)=-3
2) f(a)*f(b)=-30<0 - условие выполняется.
3) f'(x)=6x^2-6x-12
f''(x)=12x-6.

торая производная 12х-6. Она положительна при x>0,5 и отрицательна при x<0,5.
Вычислим значение функции в точке 0,5, чтобы определиться, с какой стороны у нас корень:
f(0,5)=2×0,125-3×0,25-12×0,5+10=3,5. Корень лежит в интервале (0,5;1) и на этом интервале вторая производная положительна, т.е. функция вогнута, т.к. производная на интервале отрицательна, то функция убывает монотонно. По методу хорд мы будем находить приближение с избытком, по методу касательных - с недостатком.
Значения функции в концевых точках найдены, можем начинать процесс.
Формула метода хорд: Интервал (а,b), значения на концах f(a)=у
1
, f(b)=у
2
: очередное
приближение х есть x=b-(b-a)f(b)
f(b)-f(a). После нахождения очередного х (у нас он будет больше
искомого корня!) мы вычисляем в этой точке значение функции и используем х в качестве нового значения b . Формула для метода касательных (у нас касательная всегда будет браться в левой точке, мы ее обозначаем а ) : x=a-f(a)
fʹ(a) - это очередное приближение. Эта точка далее
будет играть роль а. Вычисляем в ней значение функции и ее производной и переходим к следующему шагу с новыми а и b.
1) x=1--1,5
-6,5=0,769, Новое значение b=0,769 вычисляем значение функции f(b)=f
(0,769)=-0,093.
Ищем приближение по методу касательных:fʹ(a)=fʹ(0,5)=-13,5
x=0,5-3,5
-13,5=0,759 . Новое значение а=0,759, вычисляем в этой точке значение функции и
производной:
f(0,759)=0,038, fʹ(0,759)=-13,1
2) Корень в интервале (0,759; 0,769). Применяем метод хорд:
x=0,769--0,00093
-0,131=0,7619, применяем метод касательных:
x=0,759-0,038
-13,1=0,7619 .
И так, приближения с избытком и с недостатком совпали с точностью до четвертого знака. Процесс закончен.
Ответ: х=0,762

Правильно я решила? Проверьте, пожалуйста.

[Maxxxu]

Ответ по крайней мере правильный

[yla]

А ход решения?

[gris]

Вроде бы всё правильно. Один корень нашли. А ещё два будете искать?
И ещё. Делайте проверку. Подставьте 0,762 в уравнение, посмотрите, что получилось. Измените на допустимую ошибку в ту и другую сторону. Будете чувствовать себя уверенней.
$f(0,761)=+0,012059162$
$f(0,762)=-0,001030544$
$f(0,763)=-0,014117106$
Всё в порядке! При удалении $x$ от корня, значения функции увеличиваются по модулю.

[yla]

Спасибо, gris! Мне нужно было только один корень найти.