2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 простенькая формула с дельта-функцией.
Сообщение21.02.2009, 20:19 
Всем доброго времени суток.
Подскажите пожалуйста, как доказывается следующая формула?
\[
\lim_{\varepsilon\rightarrow0}\frac1{x\pm i\varepsilon}={\cal P}\frac1{x}\mp i\pi\delta(x)
\]
Давно мне известна, а вот попробовал доказать - и что-то не получилось.

 
 
 
 
Сообщение21.02.2009, 20:47 
Взять пробную функцию $\phi$, написать для нее функционал в левой части и вычесть функционал для первого слагаемого в правой части. Я думаю, можно представить результат в виде $$\phi(0)\int_\mathbb{R}\frac{\mp i \varepsilon\, dx}{x^2+\varepsilon^2}$$ плюс что-то, стремящееся к нулю при $\varepsilon\to0$. А этот интеграл равен $\mp\phi(0)i\pi $. Хотя, может это не самый простой путь.

 
 
 
 
Сообщение21.02.2009, 21:17 
Для любого $[-R;R]$:

1). $$\int_{-R}^R{\varphi(x)-\varphi(0)\over x\pm i\varepsilon}\,dx\longrightarrow\int_{-R}^R{\varphi(x)-\varphi(0)\over x}\,dx$$
(хотя бы по теореме Лебега).

2). $$\int_{-R}^R{\varphi(x)-\varphi(0)\over x}\,dx=V.p.\int_{-R}^R{\varphi(x)\over x}\,dx-\varphi(0)\cdot V.p.\int_{-R}^R{1\over x}\,dx,$$
причём последнее слагаемое равно нулю.

3). $$\int_{-R}^R{\varphi(0)\over x\pm i\varepsilon}\,dx=\varphi(0)\cdot\ln(x\pm i\varepsilon)\Big|_{x=-R}^R\longrightarrow\mp\pi i\cdot\varphi(0).$$

 
 
 
 
Сообщение24.02.2009, 04:04 
Спасибо!
Всё отлично, только есть два момента, которые меня смущают.

1) Так как логарифм - многозначная функция, то меня смущает равенство
$$
\lim_{\varepsilon\rightarrow0}\int_{-R}^R{\varphi(0)\over x\pm i\varepsilon}\,dx=
\varphi(0)\lim_{\varepsilon\rightarrow0}\ln(x\pm i\varepsilon)\Big|_{x=-R}^R.
$$
Если глубже проанализируем это равенство то, конечно же, получим то что надо. Но чтобы не заморачиваться
дополнительными размышлениями проще записать так:
$$
\lim_{\varepsilon\rightarrow0}\int_{-R}^{R}\frac{\varphi(0)}{x\pm i\varepsilon}\,{dx}=
\varphi(0)\lim_{\varepsilon\rightarrow0}\int_{-R}^{R}\frac{x\mp i\varepsilon}{x^2+\varepsilon^2}\,{dx}=
$$
$$
=\varphi(0)\lim_{\varepsilon\rightarrow0}\int_{-R}^{R}\frac{\mp i\varepsilon}{x^2+\varepsilon^2}\,{dx}=
\mp2i\varphi(0)\lim_{\varepsilon\rightarrow0}\arctg\frac{R}{\varepsilon}=
\mp i\pi\varphi(0).
$$

2) Ещё смущает вот это "хотя бы по теореме Лебега". Я почитал, что такое теорема Лебега и понял,
что у меня огромная дыра в знаниях. Пока читал - напоролся на незнакомые мне понятия
"носитель фнкции"
"измеримая функция"
"измеримое пространство"
"пространство с мерой"
"интеграл Лебега", "мера Лебега"
"индикатор"
итд, итп...

нашёл вот это пособие:
http://window.edu.ru/window_catalog/red ... nsu071.pdf
Подойдёт ли для ознакомления? Может что посоветуете?

Совсем забыл... Это формула Сохоцкого. Исли бы знал название - не беспокоил бы вас и нашёл бы в сети доказательство :)

 
 
 
 
Сообщение24.02.2009, 08:18 
1). Логарифм, конечно, неоднозначен, но вот его приращение вдоль любого пути -- вполне однозначно. Собственно, Ваши два арктангенса -- это и есть приращение аргумента знаменателя, т.е. (после умножения на $i$) приращение логарифма.

2). На теорему Лебега я сослался только для краткости. Фактически здесь она не нужна, достаточно простейших равномерных оценок, но тогда придётся чуть-чуть повозиться с заклинаниями. Мне же хотелось выделить идейную сторону дела, не углубляясь в технические детали.

 
 
 
 предел
Сообщение24.03.2009, 16:44 
Помогите, пожалуйста, понять такое выражение

$\lim\limits_{\epsilon \to 0} \frac {1}{x-x_0+ i \epsilon}=P \frac{1}{x-x_0}-i\pi \delta (x-x_0)$, где написано P-главное значение. Что это такое и как понимать такой предел? Как его вывести?

 
 
 
 
Сообщение24.03.2009, 17:11 
См. http://dxdy.ru/topic20060.html

________________________________
Gafield, спасибо. Темы соединил // GAA

 
 
 
 
Сообщение24.03.2009, 17:28 
Gafield, действительно спасибо. Буду разбираться в теме и потом если что задам вопросы.

 
 
 [ Сообщений: 8 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group