простенькая формула с дельта-функцией.

[Alien]

Всем доброго времени суток.
Подскажите пожалуйста, как доказывается следующая формула?

\[ \lim_{\varepsilon\rightarrow0}\frac1{x\pm i\varepsilon}={\cal P}\frac1{x}\mp i\pi\delta(x) \]

Давно мне известна, а вот попробовал доказать - и что-то не получилось.

[Gafield]

Взять пробную функцию $\phi$, написать для нее функционал в левой части и вычесть функционал для первого слагаемого в правой части. Я думаю, можно представить результат в виде

$$\phi(0)\int_\mathbb{R}\frac{\mp i \varepsilon\, dx}{x^2+\varepsilon^2}$$

плюс что-то, стремящееся к нулю при $\varepsilon\to0$. А этот интеграл равен $\mp\phi(0)i\pi $. Хотя, может это не самый простой путь.

[ewert]

Для любого $[-R;R]$:

1).

$$\int_{-R}^R{\varphi(x)-\varphi(0)\over x\pm i\varepsilon}\,dx\longrightarrow\int_{-R}^R{\varphi(x)-\varphi(0)\over x}\,dx$$

(хотя бы по теореме Лебега).

2).

$$\int_{-R}^R{\varphi(x)-\varphi(0)\over x}\,dx=V.p.\int_{-R}^R{\varphi(x)\over x}\,dx-\varphi(0)\cdot V.p.\int_{-R}^R{1\over x}\,dx,$$

причём последнее слагаемое равно нулю.

3).

$$\int_{-R}^R{\varphi(0)\over x\pm i\varepsilon}\,dx=\varphi(0)\cdot\ln(x\pm i\varepsilon)\Big|_{x=-R}^R\longrightarrow\mp\pi i\cdot\varphi(0).$$

[Alien]

Спасибо!
Всё отлично, только есть два момента, которые меня смущают.

1) Так как логарифм - многозначная функция, то меня смущает равенство

$$ \lim_{\varepsilon\rightarrow0}\int_{-R}^R{\varphi(0)\over x\pm i\varepsilon}\,dx= \varphi(0)\lim_{\varepsilon\rightarrow0}\ln(x\pm i\varepsilon)\Big|_{x=-R}^R. $$

Если глубже проанализируем это равенство то, конечно же, получим то что надо. Но чтобы не заморачиваться
дополнительными размышлениями проще записать так:

$$ \lim_{\varepsilon\rightarrow0}\int_{-R}^{R}\frac{\varphi(0)}{x\pm i\varepsilon}\,{dx}= \varphi(0)\lim_{\varepsilon\rightarrow0}\int_{-R}^{R}\frac{x\mp i\varepsilon}{x^2+\varepsilon^2}\,{dx}= $$

$$ =\varphi(0)\lim_{\varepsilon\rightarrow0}\int_{-R}^{R}\frac{\mp i\varepsilon}{x^2+\varepsilon^2}\,{dx}= \mp2i\varphi(0)\lim_{\varepsilon\rightarrow0}\arctg\frac{R}{\varepsilon}= \mp i\pi\varphi(0). $$

2) Ещё смущает вот это "хотя бы по теореме Лебега". Я почитал, что такое теорема Лебега и понял,
что у меня огромная дыра в знаниях. Пока читал - напоролся на незнакомые мне понятия
"носитель фнкции"
"измеримая функция"
"измеримое пространство"
"пространство с мерой"
"интеграл Лебега", "мера Лебега"
"индикатор"
итд, итп...

нашёл вот это пособие:
http://window.edu.ru/window_catalog/red ... nsu071.pdf
Подойдёт ли для ознакомления? Может что посоветуете?

Совсем забыл... Это формула Сохоцкого. Исли бы знал название - не беспокоил бы вас и нашёл бы в сети доказательство

[ewert]

1). Логарифм, конечно, неоднозначен, но вот его приращение вдоль любого пути -- вполне однозначно. Собственно, Ваши два арктангенса -- это и есть приращение аргумента знаменателя, т.е. (после умножения на $i$) приращение логарифма.

2). На теорему Лебега я сослался только для краткости. Фактически здесь она не нужна, достаточно простейших равномерных оценок, но тогда придётся чуть-чуть повозиться с заклинаниями. Мне же хотелось выделить идейную сторону дела, не углубляясь в технические детали.

[lenok.marshal]

Помогите, пожалуйста, понять такое выражение

$\lim\limits_{\epsilon \to 0} \frac {1}{x-x_0+ i \epsilon}=P \frac{1}{x-x_0}-i\pi \delta (x-x_0)$, где написано P-главное значение. Что это такое и как понимать такой предел? Как его вывести?

[Gafield]

См. http://dxdy.ru/topic20060.html

________________________________
Gafield, спасибо. Темы соединил // GAA

[lenok.marshal]

Gafield, действительно спасибо. Буду разбираться в теме и потом если что задам вопросы.