Функциональный анализ. Слабая сходимость

[UOksana]

Здравствуйте!
Помогите в решении.
Не знаю с чего начать доказательство.

C_n - последовательность линейных, ограниченных операторов: V \to F
где V и F гильбертова пространства
И дано:
если взять любое g из V^* то C^*_n(g) \to C^*(g)
тогда из того, что v_n \to v слабо будет следовать, что
C_nv_n \to Cv слабо

[Henrylee]

Вас не смущают такие мелочи как то, что $C^*$ и $C^*_n$
определены не на $V^*$, а на $F^*$?

[UOksana]

да, ошиблась g из F^*

Добавлено спустя 8 минут 18 секунд:

в общем мои мысли:
По теореме Рисса можно считать, что V=V^*, F=F^*. Для любого y\in F получаем
|(y, C_n(v_n)) - (y, C(v))|= |(C_n^*(y), v_n) - (C^*(y), v)|= |(C_n^*(y), v_n) - (C_n^*(y), v) + (C_n^*(y), v) - (C^*(y), v)|\leq\\\leq |(C_n^*(y), v_n) - (C_n^*(y), v)| + |(C_n^*(y), v) - (C^*(y), v)|.

Так как v_n\to v слабо, то |(C_n^*(y), v_n) - (C_n^*(y), v)|\to 0 при n\to \infty при всех y\in F.

Так как для любого y\in F C^*_n(y) \to C^*(y) (достаточно слабой сходимости), то |(C_n^*(y), v) - (C^*(y), v)|\to 0 при n \to \infty.

Т.о. для любого y\in F, |(y, C_n(v_n)) - (y, C(v))|\to 0 при n\to \infty. Т.е. C_nv_n \to Cv слабо.

[Хорхе]

UOksana писал(а):

Так как v_n\to v слабо, то |(C_n^*(y), v_n) - (C_n^*(y), v)|\to 0 при n\to \infty при всех y\in F.

А это еще почему? Ведь $C_n^*(y)$ зависит от $n$, не так ли?

Запишите немного другое неравенство треугольника, и будет Вам счастье.