Интеграл P_3(x)/sqrt(P_2(x))

[Slayer]

$$\int \frac {12x^3+86x^2+175x+65} {\sqrt{ (x^2+8x+17)}} dx $$

(в знаменателе корень от всего выражения)

$$\int \frac {19\cos x-8\sin x+9} { (19\cos^2 x+8\sin x\cos x+36\cos x+17+7\sin x)} dx $$

По первому в голову просто ничего не приходит...во втором явно надо что-то вначале преобразовать, что именно понять не могу....потому что явно неспроста числитель похож на знаменатель...

[Henrylee]

Во-первых, кратинка не видна, во-вторых формулы положено набирать самостоятельно.

[Jnrty]

Jnrty:

Slayer, чуть было не отправил сейчас Вашу тему в "Карантин" за картинку вместо формул.

При записи формул у Вас есть следующие ошибки:
1) присутствует команда \right (совершенно ненужная, поскольку нет \left; эти команды используются для автоматического подбора размера скобок);
2) при записи дроби знаменатель не заключён в фигурные скобки, из-за этого знак корня изображается неправильно;
3) Круглые скобки и пределы интегрирования _{}^{} совершенно не нужны;
4) "звёздочки" в качестве знаков умножения выглядят ужасно, лучше их совсем убрать (если знак умножения нужен, обычно используют \cdot или \times).

$$\int\frac{12x^3+86x^2+175x+65}{\sqrt{x^2+8x+17}}dx $$

[Someone]

$$\int\frac{12x^3+86x^2+175x+65}{\sqrt{x^2+8x+17}}dx=(Ax^2+Bx+C)\sqrt{x^2+8x+17}+D\int\frac{dx}{\sqrt{x^2+8x+17}}$$

Дифференцируете обе части равенства, приводите справа к общему знаменателю и сравниваете коэффициенты при одинаковых степенях $x$ слева и справа.

[Gordmit]

Первый интеграл следует искать в виде

$$\int\frac{12x^3+86x^2+175x+65}{\sqrt{x^2+8x+17}}=P_2(x)\sqrt{x^2+8x+17}+\lambda\int\frac{dx}{\sqrt{x^2+8x+17}}$$

где $P_2(x)$ - многочлен 2й степени. Неопределенные коэффициенты (коэффициенты многочлена $P_2$ и $\lambda$) можно найти, продифференцировав данное равенство, приведя к общему знаменателю получившиеся выражения и приравняв коэффициенты многочленов в числителях.

Во втором интеграле ничего лучше универсальной тригонометрической подстановки $t=\tg\frac{x}{2}$ не вижу пока. После нее получается рациональная дробь с многочленом 3й степени в знаменателе ($t^3+t^2-15t-36$, если не ошибся в вычислениях), корни которого, кажется, плохие.

Добавлено спустя 2 минуты 54 секунды:

Чуть чуть опоздал

[Someone]

Gordmit в сообщении #197664 писал(а):

корни которого, кажется, плохие

Судя по ответу, который выдаёт Mathematica, должны быть хорошие (рациональные).

[Gordmit]

Да. Ошибся в вычислении. Многочлен $t^3+2t^2-15t-36$, у которого есть два целых корня.

[Slayer]

Спасибо большое!!