Система параболических уравнений

[Парджеттер]

Здравствуйте. Имею следующую проблему.

У меня есть система уравнений

$$ \left \{ \begin{aligned} u_y= A u_{xx} - B v\\ v_y=C v_{xx} - D u \right. \end{aligned} $$

где $u=u(x,y)$, $v=v(x,y)$, $A,B,C,D = const$.

Граничные условия:

$$u(0,y)=0, \quad u(x,y) |_{x \to \infty} =0 \eqno(1)$$

$$v(0,y)=0, \quad \left. \frac{\partial v}{\partial x} \right|_{x = 0} = H=const \eqno(2)$$

$$u(x,0)=v(x,0)=0 \eqno(3)$$

Я пытаюсь ее загнать в mathematica и решить численно, но она говорит о несовместности граничных (1), (2) и начальных (3) условий. В чем здесь проблема, не подскажете?

[Brukvalub]

Возможно, причина кроется здесь: $\frac{{\partial v}}{{\partial x}}(0\,;\;0) = 0 = H$ ?

[Парджеттер]

Brukvalub писал(а):

Возможно, причина кроется здесь: $\frac{{\partial v}}{{\partial x}}(0\,;\;0) = 0 = H$ ?

Гм. Это верно. Спасибо.
А если взять вместо $v(x,0)=0$ что-нибудь типа $v(x,0)=Hx$?

[Brukvalub]

Парджеттер в сообщении #197515 писал(а):

А если взять вместо $v(x,0)=0$ что-нибудь типа $v(x,0)=Hx$?

Ну, так компьютер-то под руками.
Загоняем в программу и жмем ENTER.

[ewert]

Вообще-то это непонятно. Противоречие между начальными и граничными условиями (т.е. невыполнение граничных условий на начальном временном слое) -- вещь вполне естественная для начально-краевых задач, и в этом месте спотыкаться как-то нехорошо. Надо смотреть, как организован процесс численного решения.

Не очень, правда, понятно и вот что. Там для первой функции условия по иксам -- действительно граничные, а вот для второй -- начальные. Это что, так и было задумано?...

[Парджеттер]

Brukvalub в сообщении #197521 писал(а):

Загоняем в программу и жмем ENTER.

Не кушает.

ewert в сообщении #197523 писал(а):

Там для первой функции условия по иксам -- действительно граничные, а вот для второй -- начальные.

Да, так получается.

[ewert]

А она вообще-то -- умеет кушать бесконечные области?

[Парджеттер]

ewert в сообщении #197581 писал(а):

А она вообще-то -- умеет кушать бесконечные области?

Нет, конечно. Бесконечную это я для строгости тут написал. А на самом деле там я задал вполне конечное число - на порядок больше характерного масштаба.

Добавлено спустя 47 секунд:

Она все время ругается на тему несовместности.

[ASA]

Парджеттер писал(а):

Она все время ругается на тему несовместности.

Придется ручками решать.

[ewert]

А может, Математика всё же считает, что для параболического уравнения условия по координате могут быть только граничными?

[ASA]

ewert писал(а):

А может, Математика всё же считает, что для параболического уравнения условия по координате могут быть только граничными?

Что-то я не пойму. Начальные условия - это частный случай граничных.

[Gafield]

Область, я так понимаю, $(0,+\infty)\times(0,T)$?

Граничных условий многовато. Должно быть по одному на функцию. Это:

$$ u(x,y) |_{x \to \infty} =0 $$

будет выполняться автоматически, если рассматривать только ограниченные решения. Для $v$ аналогично. Первого условия для $v$ достаточно, чтобы решение было единственным (нулевым).

Для первой или второй краевой задачи, я думаю, можно получить и более-менее явный ответ. Фундаментальное решение должно вычисляться тут явно (может, в специальных функциях) с помощью преобразования Фурье. Затем для 1й и 2й задачи - метод отражений, чтобы построить функцию Грина или сразу записать ответ, рассматривая граничные данные как обобщенную правую часть, сосредоточенную на границе.

[Парджеттер]

Gafield писал(а):

Область, я так понимаю, $(0,+\infty)\times(0,T)$?

Нет, почему. Формально $(0,+\infty)\times(0,+\infty)$. Численно, конечно, это прямоугольник какой-то.

Gafield писал(а):

Граничных условий многовато. Должно быть по одному на функцию.

Почему? По $x$ же оба уравнения 2го порядка.

Gafield писал(а):

Первого условия для $v$ достаточно, чтобы решение было единственным (нулевым).

Нулевое решение здесь не подходит.

p.s. Я пытаюсь химичить с условиями (3), потому что (1) и (2) это вполне физические условия, их нельзя изменить.

[Gafield]

Цитата:

Почему? По $x$ же оба уравнения 2го порядка.

Уравнение Лапласа тоже второго порядка, а краевое условие, скажем, в задаче Дирихле, одно. На бесконечности ограниченность решения однозначно влечет $u(x,y)\to\0$ при $x\to\infty$. Так что достаточно искать решение в классе ограниченных функций.

Если в системе выкинуть младшие члены (которые никак не влияют на теоремы о существовании и единственности решений), то она распадется на два уравнения теплопроводности. Постановки краевых задач в полуограниченной области для него есть во книжках по мат. физике. Везде по одному условию.

Я конечно считаю здесь, что $A,C>0$, а то и с корректностью возникнут проблемы.

[Парджеттер]

Гм. Самое смешное, что Matlab решает эту систему, причем в первоначальной постановке (мой первый пост) с тем результатом, который и ожидался. Непонятно. Видимо, надо пересаживаться на matlab.