Найти a, b, c полинома

[nbyte]

Здравствуйте.
Помогите решить следующую задачу
Найдите a, b, c такие, что при делении полинома f(x)=x^3 + ax^2 +bx + c на x^2 +x +1
получается остаток x+1
, а деля f(x) на x-1, получается остаток : 18
И если можете посоветуйте пожалуйста какойнибудь учебник где разбираются задачи такого рода.

[ewert]

Из второго требования по теореме Безу следует $1+a+b+c=18$.
Первое требование можно записать как $x^3+ax^2+bx+c=(x+d)(x^2+x+1)+x+1$. Раскрывая скобки и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, получаем ещё три уравнения для неизвестных $a$, $b$, $c$ и $d$.

[nbyte]

А как нахождение a, b, c, d будет выглядеть?
Я неособо могу представить

[ewert]

Не надо ничего себе представлять. Надо просто выписать систему из четырёх уравнений с четырьмя неизвестными и тупо её решить (она очень быстро решается).

[nbyte]

Извиняюсь.
А как она будет выглядит, эта система?

[мат-ламер]

По-моему, условие записано не аккуратно. Я не понял в первом случае какой многочлен на какой делится. По этой теме есть задачник Прасолова - "Задачи по алгебре, арифметике и анализу".

[ewert]

Естественно, $f(x)=x^3 + ax^2 +bx + c$ на $x^2 +x +1$. (Там внутри тега \math доллары не поставлены, а здешний интерпретатор TeX'а реагирует на это непредсказуемым образом.)

-------------------------------------------------------------
Т.е. логика у него, судя по всему, такая. Будучи в текстовой моде, он автоматом вставляет одинарный знак доллара перед первым символом, интерпретируемым как математический. И далее из математической моды вплоть до конца тега уже не выходит, если только не наткнётся на ещё один доллар.

[nbyte]

Я TeX тегами плохо умею пользоваться.
Если не используя их то

[gris]

ewert писал(а):

$1+a+b+c=18$
$x^3+ax^2+bx+c=(x+d)(x^2+x+1)+x+1$

То есть $x^3+ax^2+bx+c=x^3+(d+1)x^2+(d+2)x+(d+1)$

Отсюда

$$\begin{cases}1+a+b+c=18\\d+1=a\\d+2=b\\d+1=c\\\end{cases}$$

А дальше можно заметить, что $d$ нам не нужно, исключить его, решать систему методом Крамера.
А можно сложить сложить все уравнения и найти $d$

Написано более для того, чтобы показать, как удобно пользоваться тегами

[nbyte]

Ок. Спасибо за помощь. Теперь понятно.