Осциллятор с колеблющимся центром.

[Cervix]

Как найти в.ф. осциллятора с колеблющимся центром?

\[ i\partial_t\psi=-\frac{1}{m}\partial_{xx}\psi+\left(x-A\cos\omega t\right)^2\psi \]

гран. условия - затухание на бесконечности. Есть ли точное решение или хотя бы что можно делать в предельных случаях типа $A\gg 1$?

[V.V.]

А что, если сделать замену $z=x-A\cos\omega t$, а потом разделить переменные?

[Zai]

Cervix писал(а):

гран. условия - затухание на бесконечности.

Источниковая часть в правой части Вашего уравнения при больших по модулю $x не может обеспечить затухание решения на бесконечности.

[MOPO3OB]

Смахивает на уравнение Матье.
По ощущениям должно в него перейти после разделения переменных (по Фрье)

[Cervix]

V.V. писал(а):

А что, если сделать замену $z=x-A\cos\omega t$, а потом разделить переменные?

При такой замене (в переменные (z,x) ) слева будет член типа:

\[ \partial_t\psi=\partial_z\psi A\sin\omega t+\cdots \]

При выражении синуса в пеменных (z,x) будет неопределенность со знаком при корне, да и выражение не становится сильно приятнее на первый взгляд.

Zai писал(а):

Источниковая часть в правой части Вашего уравнения при больших по модулю $x не может обеспечить затухание решения на бесконечности.

Почему? Раз уж такое решение есть при $A=0$ (даже бесконечно много) не можем ли мы думать, что при ненулевых A оно останется по непрерывности? Поясните, пожалуйста свою мысль, а то мне не совсем ясно.

MOPO3OB писал(а):

Смахивает на уравнение Матье.
По ощущениям должно в него перейти после разделения переменных (по Фрье)

Поясните, как вы предлагаете разделить переменные, просто в импульсном представлении оно запишется в виде:

\[ i\partial_t \tilde{\psi}=\frac{p^2}{m}\tilde{\psi}-\partial_{pp} \tilde{\psi}-2iA\cos\omega t\partial_p\tilde{\psi}+A^2\cos^2\omega t\tilde{\psi}\qquad \tilde{\psi}=\int \psi e^{-ipx} dx \]

Казалось бы не намного приятнее исходного уравнения.

[V.V.]

Cervix, а что Вы думаете про переменные $(t,z)$?

[Cervix]

V.V. писал(а):

Cervix, а что Вы думаете про переменные $(t,z)$?

В переменных (t,z):

\[ i\partial_t\psi=-\frac{1}{m}\left(\partial_{zz}\psi-\frac{2}{A\omega\sin\omega t}\partial_{tz}\psi+\frac{1}{\left(A\omega\sin\omega t\right)^2}\partial_{tt}\psi+\frac{\cos\omega t}{A\sin^2\omega t}\partial_t\psi\right)+z^2\psi \]

Похоже, только повысился порядок уравнения,..

[Zai]

Cervix писал(а):

Как найти в.ф. осциллятора с колеблющимся центром?

Может Вы сначала поставите задачу о равномерном движении центра?

[Cervix]

Zai писал(а):

Может Вы сначала поставите задачу о равномерном движении центра?

Для равномерного движения у меня получилось такая штука:

\[ i\partial_t\psi=-\frac{1}{m}\partial_{xx}\psi+\left(x-At\right)^2\psi \] \[ \psi=Ce^{i\frac{\left(x-At\right)^3}{3A}}\frac{\exp\left[-imA\frac{\left(2x-At+\alpha\right)^2}{4\left(x-At+\alpha\right)}\right]}{\sqrt{x-At+\alpha}} \]

Где $C,\alpha$ - произвольные константы. Хотя тут меня и смущает предельный переход $A\to 0$, прямая подстановка говорит, что это действительно решение...