Нелинейное уравнение

[gris]

Всё так. Но бабуля резонно спросит, а как ты, милочка, график построила? Неужели по точкам? Вот тут и надо вспомнить школьную схему исследования функций, которая как раз и заканчивается построением графика. Только в этой схеме пропустить пункт нахождения точек пересечения с осью х и интервалов знакопостоянства.
Сказать так: функция определена на всей числовой оси,непрерывная, чётная, на плюс и минус бесконечности имеет пределом плюс бесконечность.
Производная равна вот чему. Равна нулю вот в этих точках. Здесь по методу интервалов она отрицательна и функция убывает, а здесь положительна. Значит вот это будут точки минимума, а это точки максимума. Для уточнения можем взять ещё несколько точек. 1, 2, 4, 5 - уже предостаточно.
Наносим точки на координатную плоскость и строим эскиз графика. Эскиз - потому что эта кривулька будет графиком только приближённо.
По нашему анализу ясно, что функция будет вести себя именно так. Не будет метаться возле какой-то точке, не завернёт вниз где-нибудь далеко-предалеко. И по картинке мы вполне можем определить корни с невысокой, правда, точностью.
Ну а потом уточнить их методом половинного деления.

[yla]

Вы хорошо объясняете А теперь можно какой интервал взять? От (0;1) пойдет?

[gris]

Да, конечно. Этот интервал подойдёт. Главное же, чтобы значения функции на его концах были разные.
$f(0)=6>0$
$f(1)<0$
Далее проверим $f(0.5)<0$
Потом $f(0,25)$ Ну тут Вы сами посчитайте, а то я боюсь ошибиться.

[yla]

Вы думаете, я не ошибусь. Когда решаю прямо перед компьютером, почти всегда что-нибудь неправильно считаю. В этот раз вот что вышло. Считала быстро, может, где и есть ошибки.
f(0,5)=(0,5)^4-18*(0,5)^2+6>0 А у вас <0 получилось. Я ошиблась, да?
Следующий интервал (0,5; 1)
с=0,75
f(0,75)=-4<0
След. интервал (0,5; 0,75)
с=0,1875
f(0,1875)>0
след. интервал (0,1875; 0,75)
с=0,46875
f(0,46875)=3>0
след. интервал (0,46875; 0,75)
с=0,609375
f(0,609375)<0
след. интервал (0,46875; 0,609375)
с=0,5390625 Пока закончу, боюсь дальше ошибок наделать. Проверьте, пожалуйста.

[Henrylee]

До этого верно, а тут

yla писал(а):

След. интервал (0,5; 0,75)
с=0,1875

как это так?

[gris]

yla, Вы считаете, наверное, на калькуляторе, оттого и ошибаетесь. Написали бы в Excel формулу и не знали бы забот. Ну давайте добьём этот корень. Видите, я тоже ошибся с 0.5. Потому, что в квадрат забыл возвести.
Ну, поехали.
$f(0)=6>0;\,\,f(1)=-11<0$

$(0;1)\quad \Delta=1\quad c=0.5 \quad f(c)= 1,5625>0$

$(0.5;1)\quad \Delta=0.5 \quad c=0.75\quad f(c)= -3,81<0$

$(0.5;0.75)\quad \Delta=0.25 \quad c=0.625\quad f(c)= -0.88<0$

$(0.5;0.625)\quad \Delta=0.125 \quad c=0.5625\quad f(c)= 0.40>0$

$(0.5625;0.625)\quad \Delta=0.0625 \quad c=0.59375\quad f(c)= -0.22<0$

$$(0.5625;0.59375)\quad \Delta=0.03125 \quad c=0,578125 \quad f(c)= 0.10>0$$

$$(0.578125;0.59375)\quad \Delta=0.016 \quad c=0,5859375 \quad f(c)= -0.06<0$$

$$(0.578125;0.5859375)\quad \Delta=0.008 \quad c=0,58203125 \quad f(c)= 0.02$$

Длина очередного интервала получилась меньше, чем требуемая точность, поэтому итерации заканчиваем и за приближение корня берём $x=0.58\pm0.01$.
Значение функции $f(0.58)=0.06$
Точное значение корня равно $\sqrt{9-5\sqrt3}\approx 0,582877313$

[yla]

gris, спасибо большое! У меня в данный момент Excel удален. (Недавно систему переустановила) Считала на кулькуляторе, да. В общем, еще раз, спасибо!