"Многолистная" теорема Лиувилля

[neo66]

Пусть росток $f\in \mathfrak{S}_{z_0}, z_0\neq 0$ продолжается по любому пути в $\mathbb{C}$\$0$ и для любого из этих продолжений выполнено $|f(z)|<1$. Доказать, что $f$ - росток постоянной функции.

[neo66]

Если никто не ответит, перенесу в олимпиадный раздел.

[Brukvalub]

Попробуйте применить Предложение 1.2 (стр. 15) вот отсюда: http://lib.homelinux.org/_djvu/M_Mathematics/MC_Calculus/MCc_Complex%20variable/Forster%20O.%20Rimanovy%20poverxnosti%20(Mir,%201980)(ru)(K)(T)(247s).djvu (ну, и, конечно, продолжаемость Вам поможет).

[neo66]

Спасибо, но на стр.15 нет Предложения 1.2, да и вообще такого нет.

P.S. Вам, возможно, показалось, что из продолжаемости по любому пути, не проходящему через ноль следует существование голоморфной функции в этой области, продолжающей данный росток. На всякий случай предупреждаю, что это не так.

[Brukvalub]

neo66 в сообщении #196933 писал(а):

Спасибо, но на стр.15 нет Предложения 1.2, да и вообще такого нет.

Прошу прощения, речь шла о предложении 2.1 со ст. 15 (в дежавю файле - тр. 14)..

neo66 в сообщении #196933 писал(а):

P.S. Вам, возможно, показалось, что из продолжаемости по любому пути, не проходящему через ноль следует существование голоморфной функции в этой области, продолжающей данный росток. На всякий случай предупреждаю, что это не так.

Если бы я был столь наивен, то не дал бы Вам ссылку на книгу по теории именно Римановых поверхностей.

[neo66]

Спасибо. Если я правильно понял, идея такая:
существует, биголоморфная в некоторой окрестности точки $0$, функция $g(z)$, такая что $g(0)=z_0$ и $f_{z_0}(g(z))=f(z_0) + z^k$ для некоторого $k\ge 0$.

Ну и что с того? Это сооответствие сугубо локально и непонятно как связаны аналитическое продолжение нашего ростка $f_{z_0}$ и $f(z_0) + z^k$.

P.S.: исправил неточность

[Brukvalub]

Я предполагал воспользоваться т. единственности. Но деталей - не продумывал.

[neo66]

Чтобы закрыть тему расскажу решение. Оно действительно олимпиадное.

Рассмотрим композицию $f(e^z)$. Так как функция $e^z$ голоморфна в $\mathbb{C}$ и ее образ не содержит $0$, то росток $f(e^z)$ продолжаем вообще по любому пути в $\mathbb{C}$, и, следовательно, продолжается до целой функции. Но, по условию задачи, она ограниченна, а, значит постоянна, по теореме Лиувилля. Значит росток $f_{z_0}(e^z)$ постоянен, и, естественно, постоянен росток $f_{z_0}(z)$.