Нелинейное уравнение

[gris]

Правильно написать так: функция монотонно убывает на интервалах $[-5;-3]$ и $[0;3]$, и монотонно возрастает на интервалах $[-3;0]$ и $[3;5]$.
На концах каждого из этих интервалов функция принимает значения разных знаков.
Из непрерывности и строгой монотонности функции на каждом интервале следует, что каждый интервал содержит ровно один корень уравнения. Можно ещё пояснить, что больше корней нет. Из-за того, что многочлен 4 степени, либо опять же из-за монотонности функции на $(-\infty;-5)$ и $(5;\infty)$.

Вот и имеем 4 непересекающихся интервала для каждого корня. $(-5;-3),(-3;0),(0;3),(3,5)$

а теперь берите любой из них и делите пополам-пополам-пополам...

[yla]

Спасибо Вам огромное , буду дальше решать.

[yla]

Проверьте, пожалуйста, дальнейшее решение. Напоминаю, что нужно было отделить корни аналитически и уточнить один из них методом половинного деления с точностью до 0,01.
Возьмем интервал (-5; -3)
В качестве начального приближения корня принимаем середину этого отрезка с нулевое=(a+b)/2=(-5+(-3))/2=-4

f(-5)=(-5)^4-18*(-5)^2+6=625-18*25+6=181
f(-4)=-26
f(-3)=-75
т.к. на концах отрезка [-5;-4] f(x) принимает значения разных знаков, то он содержит искомый корень.
Итак, наш отрезок [-5;-4]
c1=(-5+(-4))/2=-4,5
f(-4,5)={приближенно}51,56>0
Корень попадает в интервал [-4;-4,5]
c2=(-4+(-4,5))/2=-4,25
f(-4,25)=7,125>0
Корень попадает в интервал [-4;-4,25]
c3=-4,125
f(-4,125)=-10,74<0
Корь попадает в интервал [-4,125;-4,25]
c4=-4,1875
f(-4,1875)={приближенно}629>0
корень попадает в интервал [-4,125;-4,1875]
c5=-4,15625
f(-4,15625)=-6,53<0
Корень попадает в интервал [-4,15625; -4,1875]
c6=-4,171875
f(c6)=-4,37<0
Корень попадает в интервал [-4,171875; -4,1875]
-4,1875-(-4,171875)={приближенно}-0,006<0,02 Заданная точность достигнута.

Вроде все. Нужно ведь прекратить процесс итерации, когда b-a будет <2e. Так или нет я все сделала? И нужно писать такие скобки [ ] или такие ( ) для интервала в моем случае?

[gris]

Скобки можно брать и круглые, ведь Вы проверяете значения функции в концах отрезка. Если наткнётесь на точный корень, то итерации прекратятся сами собой. Но у Вас есть ошибка.
$f(-4,1875)=-2,1511<0$

Когда исправите, сравните с точным значением корня $-\sqrt{9+5\sqrt3}\approx -4,2024105$

[yla]

Вот что у меня получилось:

f(-4,1875)<0
Корень попадает в интервал (-4,1875; -4,25)
c5=-4,21875
f(-4,21875)={приближенно}-2<0
корень попадает в интервал (-4,21875; -4,25)
c6=-4,324375
f(c6)=4,2618>0
корень попадает в интервал (-4,21875; -4,234375)
Все. Так или нет? И что в самом конце следует написать, скажите, пожалуйста.

[gris]

Вы опять невнимательны.
$f(-4,21875)=2,402>0$
Корень попадает в интервал (-4,1875; -4,21875)
$f(-4,203125)=0,104058>0$
Корень попадает в интервал (-4,1875; 4,203125)
На этом можно остановиться и в качестве приближённого значения корня взять середину интервала $x=-4,1953125$
Абсолютная ошибка будет не больше половины длины интервала, то есть 0,007
ответ: -4,20

[yla]

gris, спасибо большое! Потом еще в задании сказано: отделить корни графически и уточнить один из них методом половинного деления.

Я так начала делать: x^4-18x^2+6 представила как две функции x^4 и 18x^2-6. Дальше нужно построить их графики и найти точку пересечения, да? И метод половинного деления как в этом случае нужно применять?

[gris]

Да стройте сразу график функции $y= x^4-18x^2+6$.
Функция непрерывная, чётная, интервалы возрастания и убывания Вам известны, точки двух минимумов и максимума тоже.
Начертите систему координат... Я Вам на первой странице написал, как строить график.

Добавлено спустя 3 минуты 50 секунд:

Методом половинного деления Вы уже уточнили один корень.
Ну постройте ещё крупный график на интервале (-4,25;-4,125)

[yla]

Будете ругаться за такую картинку, знаю, но все же покажу. Масштаб взяла, какой Вы сказали. Вот какой график у меня получился.

[gris]

Да уж... Хм...
Ну сойдёт. Главное, чтобы было видно, что в нуле функция больше нуля (равна 6).

[yla]

А что дальше делать?

[gris]

А что ещё делать? Что Ваш преподаватель понимает под графическим методом?

[yla]

Я не знаю, нам преподаватель успел объяснить только то, какие методы бывают и немного метод половинного деления. Нужно самим разбираться. Я прочитала о графическом методе отделения корней, вот что написано:
строится график функции y=f(x) и определяются абсциссы точек пересечения этого графика с осью OX, которые и являются корнями уравнения f(x)=0.

[gris]

Ну вот у нас есть кривая, более-менее похожая на график. И глядя на него мы можем сказать, что корни уравнения приближённо равны $\pm4,2$ и $\pm 0,4$ с ошибкой 0,5.
Чтобы достичь большей точности, надо поточнее построить график в окрестности указанных точек.
Но обычно как раз корни находят, чтобы построить график:)
Нарисуйте или напечатайте красивый график и отнесите его преподавателю. Он будет рад.

Или у Вас цель разобраться? Тогда я повторюсь - анализируя участки монотонности и точки максимумов и минимумов можно построить эскиз графика, по которому в ряде случаев можно с некоторой точностью определить корни. Сам график при этом нужен исключительно для наглядности.

[yla]

Мне разобраться нужно. Вообще задание звучит так: отделить корни графически и уточнить один из них методом половинного деления с точностью до 0,01. Преподаватель - старая бабуля, она скзала, сначала вы должны отделить корни графически, потом написать: Корень есть. Уточним его методом половинного деления. т.е. построив график, я должна сказать, что корни есть, т.к. есть точки пересечения с осью OX, (это и будет "отделение корней графически" или нет?) а дальше уже метод полов. деления для уточнения применять, так я понимаю?