Оценка интеграла.

[Anton_74]

Дано:

$$ \varepsilon(x) = o( \frac {1} {x^\beta} ), x \to \infty $$

Пусть

$$\beta = 2$$

Тогда

$$ t^2\int\limits_{\frac {1} {\left|t\right|} }^{\infty} \varepsilon(x)xdx=o(t^2), \text{при } t \to 0$$

Как провели оценку? Казалось бы должна подойти теорема о среднем, но у меня не получается. Подскажите.

[ShMaxG]

Используя теорему о среднем для некоторого

$$ \xi \in \left[ {\frac{1} {{\left| t \right|}}; + \infty } \right) $$

Вам остается показать, что

$$ \varepsilon \left( \xi \right)\xi ^2 = o\left( 1 \right) $$

$$ t \to 0 $$

используя

$$ \varepsilon \left( \xi \right) = o\left( {\frac{1} {{\xi ^2 }}} \right),\xi \to + \infty $$

Добавлено спустя 32 минуты 19 секунд:

Я поправил себя. Собственно за один шаг решается.

[Anton_74]

Т.е. наверное надо так:

$$\text{при } t\to0, \frac {1} {t} \to \infty, \text{тогда если } \xi \in \left[ \frac {1} {\left|t\right|}; +\infty \right],$$

$$\text{то } \xi \to \infty, \text{но } \frac {1} {\left|t\right|} \leqslant \xi. $$

$$\text{Тогда } \lim\limits_{t \to 0, \xi \in \left[ \frac {1} {\left|t\right|}; +\infty \right]} \varepsilon(\xi)\xi = \lim o(\frac 1 {x^2}) \xi \text{при } t \to 0 $$

И:

$$\lim\frac {1} {x^2}x=\frac 1 x = 0 , \text {при } x \to \infty $$

Получается что если нижний предел интегрирования стремится к бесконечности, а сама подинтегральная функция становится

$$o\left( \frac 1 x\right)$$

.
Получается, что интеграл берется от бесконено малой функции и по бесконечно стремящемуся к нулю промежутку, т.е. значение интеграла стремится к нулю.
И тогда выражение слева становится

$$o(t^2)$$

[Brukvalub]

А правилом Лопиталя пользоваться не пробовали?

[Anton_74]

Brukvalub писал(а):

А правилом Лопиталя пользоваться не пробовали?

Что-то домыслить не могу твою идею, может подскажешь?

[Brukvalub]

Снимаю свое предложение

[ewert]

Anton_74 писал(а):

Дано:

$$ \varepsilon(x) = o( \frac {1} {x^\beta} ) $$

Пусть

$$\beta = 2$$

Тогда

$$ t^2\int\limits_{\frac {1} {\left|t\right|} }^{\infty} \varepsilon(x)xdx=o(t^2), \text{при } t \to 0$$

.

Вообще-то это просто неверно. Собственно, справедливость утверждение сводится ровно к тому, что оно имеет смысл, т.е. что интеграл сходится на бесконечности -- не более и не менее. Однако $ \varepsilon(x) = o( \frac {1} {x^2} ) $ сходимости интеграла вовсе не гарантирует -- нужна хоть чуть-чуть, но более квалифицированная оценка.

[Anton_74]

Цитата:

Однако $ \varepsilon(x) = o( \frac {1} {x^2} ) $ сходимости интеграла вовсе не гарантирует -- нужна хоть чуть-чуть, но более квалифицированная оценка.

в смысле? Поясни как ее надо сделать?
Я читаю диссертацию своего препода, и там это используется.
Но приводится без пояснения, вот поэтому решил спросить.

[ShMaxG]

Я ошибся, а ewert правильно говорит.
Не для всякой

$$ \varepsilon \left( x \right) = o\left( {\frac{1} {{x^2 }}} \right) $$

$$ \int\limits_a^{ + \infty } {\varepsilon \left( x \right)xdx} $$

сходится!

Вот если было бы

$$ \varepsilon \left( x \right) = o\left( {\frac{1} {{x^\beta }}} \right) $$

при

$$ \beta > 2 $$

$$ \int\limits_a^{ + \infty } {\varepsilon \left( x \right)xdx} $$

- сходится, т.е. равен константе при фиксированном $a$.
А если

$$ a \to + \infty $$

, то

$$ \int\limits_a^{ + \infty } {\varepsilon \left( x \right)xdx} $$

как функция от $a$ является бесконечно малой, тогда

$$ t^2 \int\limits_{1/\left| t \right|}^{ + \infty } {\varepsilon \left( x \right)xdx} = o\left( {t^2 } \right) $$

[ewert]

собственно, я жутко предполагаю, что в оригинале утверждение звучало примерно так:

"если $\varepsilon(x)=o(x^{-\beta})$ при некотором $\beta>2$, то искомое выражение оценивается как $o(t^{\beta})$.

Что вполне очевидно.

[Anton_74]

ewert писал(а):

собственно, я жутко предполагаю, что в оригинале утверждение звучало примерно так:

"если $\varepsilon(x)=o(x^{-\beta})$ при некотором $\beta>2$, то искомое выражение оценивается как $o(t^{\beta})$.

Что вполне очевидно.

Ну в принципе так оно и есть.