Чтобы закрыть тему расскажу решение. Оно действительно олимпиадное.
Рассмотрим композицию

. Так как функция

голоморфна в

и ее образ не содержит

, то росток

продолжаем вообще по любому пути в

, и, следовательно, продолжается до целой функции. Но, по условию задачи, она ограниченна, а, значит постоянна, по теореме Лиувилля. Значит росток

постоянен, и, естественно, постоянен росток

.