2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Сущесвует ли функция...
Сообщение16.03.2009, 14:20 


21/12/08
60
Помогите с такой задачей. Пусть $E$ замкнутое множество в $\mathbb{R}$. Существует ли $f \in C^{\infty}(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ такая что $E = \{ x \in \mathbb{R} : f(x) = 0\}$ ? Пока что я придумал такое решение.
Т.к. $E$ замкнутое множество в $\mathbb{R}$, то его дополнение есть открытое множество в $\mathbb{R}$. Но всякое открытое множество в $\mathbb{R}$ есть объединение счетного числа непересекающихся интервалов. Итого $C_{\mathbb{R}}(E) = \bigcup\limits_{n=1}^\infty (a_n, b_n)$. Пусть $\omega_{a,b}(x)$ - функция шапочка (та самая что используется в теории распределений). не равная нулю на $(a,b)$. Известно что $\omega_{a,b} \in C^{\infty}(\mathbb{R}, \mathbb{R})$, тогда искомой функцией будет $f(x) = \sum\limits_{n=1}^\infty \omega_{a_n,b_n}(x)$.

Даже если решение правильное подскажите что нить попроще.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение16.03.2009, 15:00 


24/03/07
321
та куда уже проще :lol: Ну, можете убрать утверждение про счетность множества открытых интервалов - оно не нужно.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение16.03.2009, 15:28 


30/01/09
194
A что $f\equiv 0$ разве не подходит?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение16.03.2009, 15:29 
Заслуженный участник


12/07/07
4522
Если я правильно понял условие, то необходимо привести пример бесконечно дифференцируемой функции, которая принимала бы нулевое значение на замкнутом множестве (отличном от $\mathbb R$).
Вот пример такой функции $$f(x) = \left\{\begin{array}{l}
0, \quad \quad \quad |x| \le 1, \\
e^{\frac{1} {1-x^2}}, \quad |x| > 1.
\end{array} \right$$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение16.03.2009, 15:59 


30/01/09
194
Господа, поставьте четко задачу.
Норберт писал(а):
Пусть $E$ замкнутое множество в $\mathbb{R}$. Существует ли $f \in C^{\infty}(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ такая что $E = \{ x \in \mathbb{R} : f(x) = 0\}$ ?

$f\equiv 0$ подходит.

GAA писал(а):
Если я правильно понял условие, то необходимо привести пример бесконечно дифференцируемой функции, которая принимала бы нулевое значение на замкнутом множестве (отличном от $\mathbb R$).

И опять $f\equiv 0$ подходит.

GAA писал(а):
Вот пример такой функции $$f(x) = \left\{\begin{array}{l}
0, \quad \quad \quad |x| \le 1, \\
e^{\frac{1} {1-x^2}}, \quad |x| > 1.
\end{array} \right$$

Речь идет о ПРОИЗВОЛЬНОМ множестве $E$.

Видимо, постановка такая.
Пусть $E$ замкнутое множество в $\mathbb{R}$. Существует ли $f \in C^{\infty}(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ такая что $E = \{ x \in \mathbb{R} : f(x) = 0\}$ и $f(x)\neq 0$ для $x\notin E$.

PS: Увы, я не прав :?. У Норберт постановка корректная и $f\equiv 0$ не подходит .

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение16.03.2009, 16:06 
Супермодератор
Аватара пользователя


29/07/05
8248
Москва
ASA писал(а):
Господа, поставьте четко задачу.
Норберт писал(а):
Пусть $E$ замкнутое множество в $\mathbb{R}$. Существует ли $f \in C^{\infty}(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ такая что $E = \{ x \in \mathbb{R} : f(x) = 0\}$ ?

$f\equiv 0$ подходит.


Для функции $f\equiv 0$ множество $\{x\in\mathbb{R} : f(x) = 0\}$ есть $\mathbb{R}$. В условии же задачи $E$ заранее задано и это не обязательно $\mathbb{R}$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение16.03.2009, 16:26 


30/01/09
194
Дошло :?. Небольшие глюки в понимании множества
Цитата:
$E = \{ x \in \mathbb{R} : f(x) = 0\}$ .

У Норберт
постановка корректная.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение16.03.2009, 16:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
7068
А вот интересно, будет ли функция, значение которой в точке равно какой-то беск. гладкой функции от расстояния до множества $E$, удовлетворять условию задачи? (На функцию ещё надо наложить естественные условия типа положительности).

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение16.03.2009, 20:02 
Экс-модератор


17/06/06
5004
Норберт в сообщении #195542 писал(а):
тогда искомой функцией будет $f(x) = \sum\limits_{n=1}^\infty \omega_{a_n,b_n}(x)$.
Вот на самом деле нехорошо, так как такая функция может быть плохой в точках $E$ (вплоть до разрывности). Нужно омеги еще на какие-нибудь коэффициенты домножить, быстро стремящиеся к нулю. Ну то есть последить за высотами $h_n=\max\limits_{[a_n,b_n]}|\omega_{a_n,b_n}|$.

Добавлено спустя 7 минут 40 секунд:

А вообще, знаете ли, я чего-то засомневался, что решение есть вообще.

Несложно показать, что в любой неизолированной точке $x\in E$ последовательность производных $f^{(n)}(x)$ будет неограничена. Не знаю, правда, что отсюда следует ...

Добавлено спустя 2 минуты 45 секунд:

Можно пытаться по индукции омеги строить.

А слабо для $\mathbb{R}^n$? :)

Добавлено спустя 6 минут 13 секунд:

Таак, припоминаю, что получил эту задачу на экзамене по дифференциальной геометрии и не решил. Экзамен принимал он. Несмотря на всё это, я получил пятерку. Насколько я помню, экзаменатор не продемонстрировал явно знания решения этой задачи, хотя выдвинул гипотезу а-ля мат-ламер, что функция от расстояния должна прокатить (или даже квадрат расстояния что-ли). Но потом дал другую задачку, ближе к теме, и я ее решил. 8-) А эту, как видите, до сих пор не знаю ... :oops:

Добавлено спустя 3 минуты 10 секунд:

Не, с функцией от расстояния плохо дело. Ясно, что общей такой функции даже для всех множеств вида $\{a,b\}$ быть не может.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение16.03.2009, 20:15 


24/03/07
321
AD писал(а):
А эту, как видите, до сих пор не знаю ... :oops:

ну почему же не знаете, вы ж вот правильно отметили, что нужно еще следить за высотами шапочек :) (вообще достаточно, чтоб высота была меньше длины интервала)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение16.03.2009, 20:27 
Экс-модератор


17/06/06
5004
Dandan в сообщении #195673 писал(а):
(вообще достаточно, чтоб высота была меньше длины интервала)
Не, нифига не достаточно. Производные быстро разбегаются. При таком условии уже первая производная разрывной может стать.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение16.03.2009, 20:53 


24/03/07
321
Ах, да. Ну тогда высоту делаем такой, чтобы $[1/\epsilon]$-ная производная была ограничена \epsilon - длиной интервала
хм, правда это не от высоты зависит, а от самой шапочки. Ну такие шапочки можно сделать.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение16.03.2009, 21:07 
Экс-модератор


17/06/06
5004
В смысле $|f^{(n)}(x)|\le \frac1n(b_n-a_n)$ при $x\in(a_n,b_n)$? Сейчас подумаю.

Добавлено спустя 2 минуты 34 секунды:

Даже из $|f^{(n)}(x)|\le1$ при всех $n$ и $x\notin E$ следует, что $f$ аналитична всюду вне $E$.

Добавлено спустя 3 минуты:

Не, не, не. Так не пойдет. Не может быть $|f^{(n)}(x)|\le C$ при всех $x\notin E$ и $n\in\mathbb{N}_0$, так как $f^{(n)}(x)$ неограничены во всех неизолированных точках $x\in E$ (и, следовательно, нарушится непрерывность той производной, которая станет больше $C$).

Добавлено спустя 1 минуту 51 секунду:

Это я тут много где юзаю такое соображение: если $f:(-1,1)\to\mathbb{R}$ и $f^{(n)}(0)\le C$ при всех $n$, то $f(x)=\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{x^kf^{(k)}(0)}{k!}$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение16.03.2009, 21:07 


24/03/07
321
AD писал(а):
В смысле $|f^{(n)}(x)|\le \frac1n(b_n-a_n)$ при $x\in(a_n,b_n)$?

не, я имел ввиду $|f^{(k)}(x)|\le (b_n-a_n)$ при $x\in(a_n,b_n)$ для всех k, таких что $k(b_n-a_n) \le 1$. Т.е. чем меньше интервал, тем более "глубокую" производную ограничиваем

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение16.03.2009, 21:16 
Экс-модератор


17/06/06
5004
AD в сообщении #195689 писал(а):
Это я тут много где юзаю такое соображение: если $f:(-1,1)\to\mathbb{R}$ и $|f^{(n)}(0)|\le C$ при всех $n$, то $f(x)=\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{x^kf^{(k)}(0)}{k!}$.
Тут, я, наверное, немного переборщил, во всяком случае, я умею доказывать только при $f\in C^{\infty}(-1,1)$ и $|f^{(n)}(x)|\le C$ при всех $x\in(-1,1)$. Но этого вроде бы хватает.

Добавлено спустя 3 минуты 12 секунд:

Dandan в сообщении #195691 писал(а):
не, я имел ввиду $|f^{(k)}(x)|\le (b_n-a_n)$ для всех k, таких что $k(b_n-a_n) \le 1$.
Так, новая версия, снова думаю. Но даже если я не придумаю, почему это нельзя сделать, то с Вас все равно доказательство :)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 28 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group