e2e4
это более-менее ясно. Я беру не максимум, а сумму накопленных расстояний, чтобы не реагировать на короткие случайные отклонения. Там еще есть ряд технических деталей, но это все не суть важно.
Главная проблема заключается в том, что когда характер кривой меняется (например, аппроксимация проходит через точку излома или сильного изгиба), то она остановится, но только пройдя через эту точку, когда погрешность приближения станет уже ощутимой. При том что человек видит, что аппроксимацию следовало бы остановить именно в этой точке, а начиная с нее - начать новую.
А дальше - перебрать несколько вариантов кривых, возможно, различных для каждого из промежутков аппроксимирования.
Именно так я и хочу. Вопрос, собственно, заключается в том, может ли кто-нибудь посоветовать хорошие варианты кривых, для которых аппроксимацию можно быстро и легко посчитать. Для приближения дугой эллипса я, например, хороших формул вывести пока не могу. Там слишком много параметров получается и явные формулы, по-моему, не выведутся. Ясно, что всегда можно искать численно последовательными приближениями, но этого очень хотелось бы избежать.
Добавлено спустя 36 минут 56 секунд:
Уточню постановку. Будем считать, что концевые точки помещены в точки с координатами
и
. Таким образом, хочется подобрать удобное для работы семейство кривых
, таких что
.
Я думал над трехпараметрическим семейством вида
, где
и
. Фактически это один из частных случаев плотности бета-распределения. Но мне не нравится то, что производные в концевых точках равны либо
, либо
, за исключением вырожденного случая
. А мне бы хотелось, чтобы производные на концах могли бы принимать произвольные значения.
Сейчас мне видится наилучшим с точки зрения содержания следующее 4-х параметрическое семейство. Каждая кривая склеена из двух, первый параметр
- точка склейки. Берем степенную кривую
,
, и дважды отражаем ее относительно горизонтальной и вертикальной осей, получая
. И наконец сжимаем так, чтобы точке
соответствовала 1. Получаем
как аппроксимацию при
. Аналогичным образом строим аппроксимацию при
со своим показателем степени
. Последний параметр - это общий множитель
, на который все умножаем, получится
.
Это семейство мне нравится по всем своим свойствам. При
получаем линейное приближение
. При
имеем негладкую склейку двух линейных аппроксимаций. При
и
имеем гладкую кривую. Производные на концах и кривизны каждой из двух частей могут быть произвольными.
Остается один маленький вопрос - каким образом можно построить эту аппроксимацию как можно проще? Пусть не за линейное время, допустим, за квадратичное.