Система уравнений

[DoGGy]

Приветствую всех, вот такая задачка была на олимпиаде в Бауманке:

\[ \left\{ \begin{array}{l} 4\sin ^3 \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2} + (\cos y + 2)^2 \sin x = \sqrt 3 , \\ 2\cos ^2 \frac{y}{2} - \sqrt 2 \cos \frac{x}{2} = - 1. \\ \end{array} \right. \]

Не решилась она у меня, сейчас я грешу на опечатку(а именно, что в первом уравнении системы вместо

\[(\cos y + 2)^2 \]

просится

\[(\sin y + 2)^2 \]

), тогда находится решение, если оригинал верен, то я не наблюдаю там решения, как ни крути, развейте мои сомнения, пожалуйста... )

[Brukvalub]

Из второго уравнения имеем: $\cos y + 2 = \sqrt 2 \cos \frac{x}{2}$.
Подставляя это выражение в 1-е ур-ние, имеем:
$\sin ^2 \frac{x}{2}\sin x + \cos ^2 \frac{x}{2}\sin x = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow x = ....$
Да и дальше все решается...

[DoGGy]

да уж, как все просто .... но решения у меня как всегда невовремя..
Спасибо.

[DoGGy]

сегодня выяснил такую штуку, что иксы будут такими :

\[\frac{\pi }{3} + 4\pi n,n \in z\]

Почему так, то, что

\[\frac{\pi }{3} + 2\pi n,n \in z\]

отбрасывается потому что при таких иксах не всегда существует решение по игрику ?? и почему решение нужно искать на промежутке

\[4\pi \]

Я так понял, как -то влияет косинус половинного аргумента.. Поясните, пожалуйста ..))

[Brukvalub]

Не при всех значениях х можно найти у.

[DoGGy]

да, я это понял, но почему ??

[RamsesHawk]

подумайте об области значений косинуса и посмотрите на второе уравнение системы, в форме, предложенной Brukvalub...

Brukvalub писал(а):

Не при всех значениях $x$ можно найти $y$.

при всех ли полученных Вами $x$ возможны его решения?