Коллекция доказательств несчетности отрезка.

[MaximKat]

Инт в сообщении #194453 писал(а):

Мне же, чтобы набрать доказательство, нужно полдня. Чтобы обдумать его "для потребителя" - и того больше.

Не то чтобы мне нравилось кормить троллей, но с момента фразы

Инт в сообщении #189714 писал(а):

все Ваши леммы и последнее рассуждение, по Вашей логике, так же проходят для множества рациональных чисел на отрезке

прошло ровно 2 недели

[AD]

Инт в сообщении #194438 писал(а):

Вам следовало бы изложить доказательство внятно. В частности, из утверждаемых лемм (как они доказываются пока неважно) вывели бы что-ли внятно как вытекает несчётность.

Я всё изложил более чем внятно. Не понимаю, куда уж подробнее.

[Someone]

Инт писал(а):

Someone писал(а):

Инт в сообщении #193700 писал(а):

Тогда сечение $\sqrt{N}$, расположенное среди рациональных чисел, разместится в точке отрезка, не сопоставленной никакому рациональному числу.

Это почему вдруг?

По указанной процедуре сопоставления, которая возможна в связи с предположением о счётности отрезка, все точки отрезка оказались сопоставленными рациональным числам, т.е. в некотором смысле "расположились на рациональных числах", или наоборот "рациональные числа расположились на всех точках отрезка" (только лишь в связи с указанным предположением).$\sqrt{N}$ расположен вне множества рациональных чисел, и поэтому, расположится вне сопоставленных точек отрезка (все места среди точек отрезка окажутся заняты рациональными числами).

Не пройдёт. Вы предполагаете, что все внутренние точки отрезка пронумерованы натуральными числами, в том числе - и $\sqrt{N}$. То же самое предполагаете о рациональных точках, лежащих внутри отрезка. Построение соответствия таково, что все пронумерованные точки в этом соответствии участвуют. Раз уж $\sqrt{N}$ был пронумерован, то он тоже будет соответствовать какому-то рациональному числу.

[Инт]

Someone писал(а):

Не пройдёт. Вы предполагаете, что все внутренние точки отрезка пронумерованы натуральными числами, в том числе - и $\sqrt{N}$

Вы не поняли Someone, $\sqrt{N}$это как раз сечение среди множества рациональных чисел, не совпадающее ни с одним рациональным числом, поэтому не нумерованное, но тем не менее существующее, а не точка в множестве действительных чисел, которая оказалась перенумерованной. Такому сечению, после того как установлен предполагаемый изоморфизм, не соответствует никакое нумерованое действительное число.

Добавлено спустя 14 минут 36 секунд:

AD писал(а):

Инт в сообщении #194438 писал(а):

Вам следовало бы изложить доказательство внятно. В частности, из утверждаемых лемм (как они доказываются пока неважно) вывели бы что-ли внятно как вытекает несчётность.

Я всё изложил более чем внятно. Не понимаю, куда уж подробнее.

Тем не менее, из утверждаемых лемм не выведена несчётность. Иными словами уже две недели как не доказана импликация: "утверждаемая лемма + непостоянные функции => несчётность". Выведете наконец как из леммы и очевидного утверждения о существовании непостоянных убывающих функций вытекает несчётность. Вы только намекаете, что доказательство есть. Где оно?

P.S. Для представленных Вами лемм доказательства нашёл. Конечно они верны. Сейчас ищу для них наиболее простое доказательство из таких, которое бы ясно показывало, что несчётность никак не затрагивается.

[AD]

AD две недели и два дня назад в сообщении #189579 писал(а):

Возьмем $F(x)=-x$. Если отрезок $[0,1]$ счётен, то $\underline{F}'\ge0$ всюду на отрезке, кроме счетного множества точек (а именно, кроме всех точек отрезка). Следовательно, $F(1)\ge F(0)$, то есть $-1\ge0$, противоречие.

В каком месте не ясно?

[Инт]

AD писал(а):

В каком месте не ясно?

$\underline{F}'\ge0$ - это откуда следует для функции $F(x) = - x$? Из леммы?

[AD]

Инт в сообщении #194760 писал(а):

$\underline{F}'\ge0$ - это откуда следует для функции $F(x) = - x$?

Это неверно ни в одной точке отрезка. Однако лемма позволяет "забить" на счетное число точек, в которых это неверно. Так что если отрезок счетен, то $F$ удовлетворяет условиям леммы.

[Someone]

Инт в сообщении #194717 писал(а):

$\sqrt{N}$это как раз сечение среди множества рациональных чисел, не совпадающее ни с одним рациональным числом, поэтому не нумерованное, но тем не менее существующее, а не точка в множестве действительных чисел, которая оказалась перенумерованной. Такому сечению, после того как установлен предполагаемый изоморфизм, не соответствует никакое нумерованое действительное число.

А ему и не должно ничего соответствовать, оно же не принадлежит множеству рациональных чисел и не нумеровалось вместе с ними. Но Вы с ним пытаетесь рассуждать так, будто должно. Это число нумеровалось как элемент множества действительных чисел и не нумеровалось как элемент множества рациональных чисел, поэтому Вы получили то, что хотели: подобие множества действительных чисел и множества рациональных чисел. Противоречия не вижу.

[Инт]

Someone писал(а):

Инт в сообщении #194717 писал(а):

$\sqrt{N}$это как раз сечение среди множества рациональных чисел, не совпадающее ни с одним рациональным числом, поэтому не нумерованное, но тем не менее существующее, а не точка в множестве действительных чисел, которая оказалась перенумерованной. Такому сечению, после того как установлен предполагаемый изоморфизм, не соответствует никакое нумерованое действительное число.

А ему и не должно ничего соответствовать, оно же не принадлежит множеству рациональных чисел и не нумеровалось вместе с ними. Но Вы с ним пытаетесь рассуждать так, будто должно. Это число нумеровалось как элемент множества действительных чисел и не нумеровалось как элемент множества рациональных чисел, поэтому Вы получили то, что хотели: подобие множества действительных чисел и множества рациональных чисел. Противоречия не вижу.

Ещё раз Someone: Берём множество рациональных чисел $Q$. Среди сечений этого множества находим сечение, которое именуется как точка $Y = \sqrt{N}$. Точки $Q$ оказываются нумерованными, но точка $Y$ не нумерована. Будем считать, что $Q$ и $Y$ расположены на некой геометрической прямой, которую назовём "первой прямой". Множество $Q$ перенесём указанной выше процедурой с первой прямой на некую "вторую прямую", где расположен исследуемый отрезок, т.е. счётность или несчётность которого выясняется. Точки этого отрезка так же нумеруются натуральными числами в силу предположения о его счётности. После чего, оказывается, что все точки из $Q$ расположились на всех внутренних точках исследуемого отрезка второй прямой. Одновременно с переносом $Q$ на вторую прямую с первой прямой автоматически переносится сечение $Y$. Но для $Y$ уже нет места на второй прямой, т.к. все точки второй прямой заняты перенесёнными туда точками из $Q$. хотя $Y$ попрежнему лежит среди точек $Q$. Это противоречие с предположением, что отрезок на второй прямой счётен.

Добавлено спустя 30 минут 55 секунд:

AD писал(а):

Инт в сообщении #194760 писал(а):

$\underline{F}'\ge0$ - это откуда следует для функции $F(x) = - x$?

Это неверно ни в одной точке отрезка. Однако лемма позволяет "забить" на счетное число точек, в которых это неверно. Так что если отрезок счетен, то $F$ удовлетворяет условиям леммы.

Уважаемый AD. Спешу сообщить Вам, что разобрался с Вашим доказательством несчётности отрезка. Действительно, оно верно. Только, считаю, Вы употребили очень много лишних формулировок при пояснении доказательства и "беглых намёков". Можно совсем обойтись без второй леммы, и использовать только лишь лемму о конечном разбиении: Берём конкретную функцию $F(x) = x$. В предположении о счётности отрезка, берём такую $\delta$, что разность между значением $F(x)$ и значениями функции $F$ в точках, расположенных в $\delta(x)$-окрестности точки $x$ меньше достаточно малого заранее заданного числа. Причём даже так, что сумма по всем таким разностям (по всем точкам отрезка) меньше чем заранее заданное малое число $\epsilon$. Пользуясь леммой о конечном разбиении, составляем конечную интегральную сумму от $F'(x)$, которая всегда равна длине отрезка, с одной стороны. И, с другой стороны, эта же сумма равна сумме разностей между значениями $F(x)$в концах отрезков разбиения. Первая сумма не стремится к нулю, постоянна. Вторая стремится к нулю, если к нулю устремляем $\epsilon$. Ясно теперь, в чём противоречие. Видно так же, как можно модифицировать доказательство, чтобы первая идея Снейпа превратилась в полноценное доказательство. Доказательство Ваше интересное. Мне понравилось.

[AD]

Инт, Вы только что изобрели меру Лебега, поздравляю Вас Ну, в-общем, да, близко оно всё.

И примерно это я имел в виду, когда в сообщении #187402 писал(а):

очень часто используются сходные идеи, от которых уже рукой подать до требуемого, но тут же сюжет уходит в сторону

Ну да, конечно, я и не претендовал на наличие хоть какого-то толка от этого моего доказательства. Оно было просто примером проявления несчетности отрезка в "моей науке".

P.S.

Инт в сообщении #194717 писал(а):

Для представленных Вами лемм доказательства нашёл. Конечно они верны.

Поясните, пожалуйста, точный смысл слова "нашёл". Вы нашли их еще где-то? И если да, то эти доказательства существенно проще изложенных здесь?

[Инт]

AD писал(а):

Инт в сообщении #194717 писал(а):

Для представленных Вами лемм доказательства нашёл. Конечно они верны.

Поясните, пожалуйста, точный смысл слова "нашёл". Вы нашли их еще где-то? И если да, то эти доказательства существенно проще изложенных здесь?

Не знаю проще не проще, но это три, лично моих доказательства.

[Someone]

Инт в сообщении #195049 писал(а):

Ещё раз Someone: ...

Понял.

[sartr14]

Заранее извинясь, не прочитал ещё всех сообщений, так что может это докозательство уже было.
Теорема Кантора. Для любой последовательности ${a_n}$ действительных чисел и для люого интервала $I$ существует точка $p$ из $I$, такая что $p\neq a_n$ при всех $n$.

Отсюда непосредственно следет, что ни один интервал не является счётным мнжеством.

[AD]

sartr14 в сообщении #199597 писал(а):

Отсюда непосредственно следет, что ни один интервал не является счётным мнжеством.

Я бы даже сказал, эта теорема этому эквивалентна.
Чуть более чем полностью