Доказательство (благодаря Вашим замечаниям,
Someone 
):

Всё множество

при отображении

распадается на два подмножества с пустым пересечением:
1) циклических точек

, для которых

;
2) ациклических точек

, для которых

.
Мы также знаем, что
а)

;
б) в нашем случае

.
Пусть

, тогда либо

, либо

и доказательство завершается.
Следовательно
с другой стороны:

.
Но это возможно, только если

- множество ациклических точек пусто - все точки циклические.
Следовательно,

распадается на счётное множество счётных подмножеств счётных или конечных порядков цикличности и несчётное подмножество мощности

:

.
Исключив из рассмотрения счётное подмножество

(ведь оно не содержит ни одной точки искомого отображения), рассмотрим несчётное его подмножество

, каждая точка которого отображается на некоторую другую, причём проективная бесконечность отобразится в некоторую другую точку (иначе она будет принадлежать

), в то же время, некоторая конечная точка отобразится в проективную бесконечность, и следовательно, либо функция

либо отображение не всюду плотно.
Конечно, я могу ошибаться, буду благодарен Вам за исправления...
возникает вопрос... существует ли

, осуществляющая данное отображение? Ведь непрерывность функции учитывалась при доказательстве...