Получаю расхождение с Mathcad-ом при взятии интеграла

[Fgolm]

Получаю расхождение с Mathcad-ом при взятии интеграла:
$\int\limits_{b'}^{b''} {\int\limits_{a'}^{a''} {\left( { - \frac{1}{2}} \right)\ln \left( {\left( {x - x_M } \right)^2 + \left( {y - y_M } \right)^2 } \right)dxdy} } $.
Рассмотрим неопределнный интеграл:
$\int {\ln \left( {\left( {x - x_M } \right)^2 + \left( {y - y_M } \right)^2 } \right)dx} = \left( {\left( {x - x_M } \right)\ln \left( {\left( {x - x_M } \right)^2 + \left( {y - y_M } \right)^2 } \right) - 2\left( {x - x_M } \right) + 2\left( {y - y_M } \right)arctg\frac{{\left( {x - x_M } \right)}}{{\left( {y - y_M } \right)}}} \right)$
Первообразная взята из книги: Таблица интегралов и другие математические формулы. Г.Б. Двайт.
Далее, интегрируем по второй переменной три функции.
Первый и второй интеграл проблем не вызывают.
Рассмотрим отдельно третий интеграл
$\int {\left( {y - y_M } \right)arctg\frac{{\left( {x - x_M } \right)}}{{\left( {y - y_M } \right)}}dy} $ .
Для него Двайт первообразную не приводит. Поэтому производим замены:
сначала $z = \left( {y - y_M } \right)$, $a = \left( {x - x_M } \right)$. Получаем интеграл:
$\int {zarctg\frac{a}{z}dz } $
Теперь вводим новую замену:
${t = \frac{a}{z}}$, ${z = \frac{a}{t}}$, ${dz = - \frac{a}{{t^2 }}dt}$.
Тогда переходим к интегралу:
$\int {\frac{a}{t}\left( { - \frac{a}{{t^2 }}} \right)arctgtdt} $.
Для последнего интеграла первообразную находим в той же книге:

$$\int {\frac{1}{{t^3 }}arctgtdt} = - \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{{t^2 }} + 1} \right)arctgt - \frac{1}{{2t}}$$

.
В итоге получаем результат такой:
$\int {\left( {y - y_M } \right)arctg\frac{{\left( {x - x_M } \right)}}{{\left( {y - y_M } \right)}}dy} = \frac{1}{2}\left( {\left( {x - x_M } \right)^2 + \left( {y - y_M } \right)^2 } \right)arctg\frac{{\left( {x - x_M } \right)}}{{\left( {y - y_M } \right)}} + \frac{1}{2}\left( {x - x_M } \right)\left( {y - y_M } \right)$.
А Mathcad выдает следующее:
$\int {zarctg\frac{a}{z}dz = } \frac{1}{2}z^2 arctg\frac{a}{z} - \frac{1}{2}a^2 arctg\frac{z}{a} + \frac{1}{2}az$.
Подскажите в чем моя ошибка.

[Полосин]

$$ (\arctg(1/x)+\arctg x)'=0 $$

[ASA]

Да. Типичная ситуация при взятии неопределенных интегралов. Получил одно. В ответе другое. И требуется усилие, чтобы понять, что это одно и то же.

[Fgolm]

ASA в сообщении #194341 писал(а):

Да. Типичная ситуация при взятии неопределенных интегралов. Получил одно. В ответе другое. И требуется усилие, чтобы понять, что это одно и то же.

Не все так просто. На самом деле имеем разные результаты при аналитическом расчете с мощью таблицы по Двайту и с помощью аппарата, используемого в Mathcad.
Проведя интегрирование по различным пределам и для различных фиксированных точек я увидел, что только в частном случае получаем одно и тожее. Но вряде случаев получаются разные резудьтаты.

[GAA]

$\int z\mathop{\mathrm{arctg}}\frac{a}{z}dz = \frac{1}{2} (z^2 -a^2)\mathop{\mathrm{arctg}}\frac{a}{z} + \frac{1}{2}az + C_1 = $ $\frac{1}{2}(z^2 + a^2) \mathop{\mathrm{arctg}}\frac{a}{z} + \frac{1}{2}az + C_2$,
т.е. неопределенные интегралы совпадают.

Укажите, пожалуйста, при каких значениях пределов интегрирования ответы отличаются.

Добавлено
Спасибо, ASA. «Упростил» при наборе и записал глупость. Должно было быть так:
$\int z\mathop{\mathrm{arctg}}\frac{a}{z}dz = \frac{1}{2} (z^2 \mathop{\mathrm{arctg}}\frac{a}{z} -a^2 \mathop{\mathrm{arctg}}\frac{z}{a}) + \frac{1}{2}az + C_1 = $ $\frac{1}{2}(z^2 + a^2) \mathop{\mathrm{arctg}}\frac{a}{z} + \frac{1}{2}az + C_2$,
т.е. неопределенные интегралы совпадают.

[ASA]

Fgolm писал(а):

А Mathcad выдает следующее:
$\int {zarctg\frac{a}{z}dz = } \frac{1}{2}z^2 arctg\frac{a}{z} - \frac{1}{2}a^2 arctg\frac{z}{a} + \frac{1}{2}az$.
Подскажите в чем моя ошибка.

Полосин писал(а):

$$ (\arctg(1/x)+\arctg x)'=0 $$

Следовательно, $-\frac{1}{2}a^2 arctg\frac{z}{a}=\frac{1}{2}a^2 arctg\frac{a}{z}+C$, т.е. первообразные отличаются на константу и, значит, неопределенные интегралы совпадают, что и отметил(а) GAA, но у него(нее) опечатка.