Коллекция доказательств несчетности отрезка.

[AD]

Инт в сообщении #192269 писал(а):

Но лемма утверждает про "любые отображения", а значит, в частности, и про те, что равны нулю хотя бы в одной точке.

Инт в сообщении #192693 писал(а):

$\delta:[a,b]\to(0,+\infty)$

ДОШЛО ЛИ ДО ВАС, ЧТО ЭТИ ДВЕ ЦИТАТЫ ПРОТИВОРЕЧАТ ДРУГ ДРУГУ???
Уже четвертую страницу вдалбливаю Вам одну и ту же вещь, а Вы еще говорите, что я не хочу ничего разбирать.

[MaximKat]

Инт в сообщении #192686 писал(а):

В лемме же, приведённой AD, говорится про все отображения из некоторого множества в некоторое множество без ограничений.

а если все-таки внимательно прочитать?

[AD]

MaximKat в сообщении #192786 писал(а):

а если все-таки внимательно прочитать?

Не, ну эта-то цитата как раз верна. Множество без ограничений. Так и есть. Ему только осталось понять, какое именно множество.

[Профессор Снэйп]

Инт писал(а):

Профессор Снэйп писал(а):

Инт писал(а):

Идея хорошая. Доказательство правильное. Я бы уточнил: Если $N$- натуральное число, то $\sqrt{N}$ может быть либо целым, либо иррациональным. Существуют натуральные $N$, не являющиеся квадратами натуральных чисел. Следовательно, существует число $\sqrt{N}$, не являющееся рациональным. Это доказывается без использования диагональной процедуры и без использования вложенных отрезков. Далее, используется теорема Кантора: любое счётное всюду плотное на открытом интервале множество чисел изоморфно множеству рациональных чисел. Теорема доказывается через сопоставление вполнеупорядоченных счётных множеств, т.е. так же не использует диагональную процедуру или вложенные отрезки.

Что это ещё за бред?

$\sqrt{N}$ это сечение, которое не совпадает ни с каким рациональным числом. Указывается каким образом без диагональной процедуры строится такое сечение. Я думал, что Вы умнее Профессор Снэйп, и не будете прибегать к таким глупым приёмам разговора.

Бред там не про $\sqrt{N}$, а про "теорему Кантора" и "сопоставление вполнеупорядоченных счётных множеств". Всё в кучу собрали!

[Инт]

AD писал(а):

Инт в сообщении #192269 писал(а):

Но лемма утверждает про "любые отображения", а значит, в частности, и про те, что равны нулю хотя бы в одной точке.

Инт в сообщении #192693 писал(а):

$\delta:[a,b]\to(0,+\infty)$

ДОШЛО ЛИ ДО ВАС, ЧТО ЭТИ ДВЕ ЦИТАТЫ ПРОТИВОРЕЧАТ ДРУГ ДРУГУ???
Уже четвертую страницу вдалбливаю Вам одну и ту же вещь, а Вы еще говорите, что я не хочу ничего разбирать.

Дошло до меня, что эти фразы противоречат друг другу. Но тогда, зачем Вы сбивали меня с толку приводя свой так называемый "контрпример", где обсуждаемое было не так, и Вы заставили меня подумать, что подразумеваете в формулировке лемм ещё какие-то не оговоренные условия. Я и добивался этого разъяснения. Хорошо. Теперь исходное определено чётче. Но именно такую ситуацию, когда $\delta$не обращается нигде в нуль я и считал выполненной с самого начала, при первом прочтении Ваших лемм. И к такой более "разумной" постановке вопроса у меня и были возражения. Т.е. я просил Вас объяснить почему нельзя применить лемму к счётному множеству. Можете ли дать такое объяснение?

Добавлено спустя 14 минут 46 секунд:

Профессор Снэйп писал(а):

Бред там не про $\sqrt{N}$, а про "теорему Кантора" и "сопоставление вполнеупорядоченных счётных множеств". Всё в кучу собрали!

Теорема Кантора, о которой Вы говорите не бред, и использовалась самим Кантором в точности для доказателтьства несчётности континуума так, как я написал. Суть её: если континуум счётен, то можно сопоставить каждому рациональному числу взаимно однозначно действительное число в некоторой достаточно простой процедуре, опирающейся на вполнеупорядочение (пересчёт, если хотите) как континуума (в случае его счётности), так и рациональных чисел. При этом окажется: если q и p - рациональные числа, q < p, q* и p* - сопоставленные им действительные числа соответственно, то q* < p*. Отсюда, если в множестве рациональных чисел есть "незаполненное сечение", то в случае, когда множество действительных чисел предполагается счётным, и в нём найдётся "незаполненное сечение", благодаря указанной процедуре сопоставления. Я думал, Вы знаете это доказательство. Могу привести его полностью.

[MaximKat]

Инт в сообщении #193641 писал(а):

"контрпример", где обсуждаемое было не так

в какой именно рациональной точке обсуждаемое было "не так"?

[Инт]

Доказывается без диагональной процедуры и без использования вложенных отрезков, что если $N$ – натуральное число, и $N$не является квадратом целого числа, то $\sqrt{N}$ не является рациональным. Т.е. доказуемо таким образом, что существуют числа вида $\sqrt{N}$, не являющиеся рациональными. Предположим отрезок континуума счётен. Далее привожу рассуждения Кантора, которыми доказывают изоморфизм между счётными плотными множествами, и которые используем в доказательстве несчётности отрезка. Пересчитаем все элементы во внутренности отрезка, а так же пересчитаем все рациональные числа, посредством натуральных чисел. Пусть $x_n$ - пересчёт точек внутренности отрезка, а $q_n$- пересчёт рациональных чисел. Тогда, сопоставим точке $x_1$ число $q_1$. И образуем множества $X_1 = \{x_1\}$ и $Q_1 = \{q_1\}$. Пусть, по предположению индукции образованы множества $X_m$ и $Q_m$ такие, что $X_{m-1} \subset X_m$ и $Q_{m-1} \subset Q_m$, причём, $Q_m = \{q_1, q_2, ..., q_m\}$, и все элементы множества $X_m$ взаимно однозначно сопоставлены элементам множества $Q_m$ так, что если $x', x'' \in X_m$ и $x' < x''$, точки $x'$и$x''$ сопоставлены числам $q', q'' \in Q_m$ соответственно, то $q' < q''$. Образуем множества$X_{m+1}$ и $Q_{m+1}$ добавлением к каждому из множеств $X_m$ и $Q_m$ одного элемента. Элемент $q_{m+1}$ добавим к множеству $Q_m$ и получим множество $Q_{m+1}$. Либо $q_{m+1}$ больше всех элементов из множества $Q_m$, либо меньше всех таких элементов, либо расположен между некоторыми двумя соседними элементами $q'$ и $q''$ множества $Q_m$, $q' < q''$. Этим $q'$ и $q''$ пусть сопоставлены в множестве $X_m$ элементы $x'$ и $x''$ соответственно. Поскольку, множество действительных чисел всюду плотно на отрезке, и предполагается пересчёт всех действительных чисел, то найдётся такой минимальный номер $n = n(m)$, что число $x_{n(m)}$ будет либо больше всех элементов множества $X_m$, либо меньше всех таких элементов, либо расположится между точками $x'$ и $x'' соответственно, т.е. $x_{n(m)}$ расположится "так же, как располагается точка $q_m$". Этот $x_{n(m)}$ добавляем для образования $X_{m+1}$. Таким способом будут выбраны все точки отрезка. Действительно, пусть точка $x_M$ такова, что $M$– минимальный номер, среди не выбранных, после того, как уже образовано множество $X_{m+1}$. Этот $x_M$ либо больше всех элементов $X_{m+1}$, либо меньше их всех, либо расположен между некоторыми соседними точками $y'$ и $y''$, принадлежащими множеству $X_{m+1}$. Пусть, для определённости последнее. Тогда через конечное количество шагов нам потребуется выбрать элемент для добавления в некоторое множество $X_k$, где $k > m+1$, который должен расположиться между $y'$ и $y''$, при том, что для всех номеров $p$, меньших, чем $k$, никакого элемента из множества $X_p$ между точками $y'$ и $y''$ не добавлялось. В качестве добавляемого элемента и берём $x_M$, так как он имеет номер наименьший из всех возможных. В итоге, всем точкам отрезка будут взаимно однозначно сопоставлены рациональные числа так, что если $x'$ и $x''$ – точки отрезка, $x' < x''$, и $x'$ и $x''$ сопоставлены рациональным числам $q'$ и $q''$ соответственно, то $q' < q''$. Можно считать, что процесс сопоставления сводится к тому, что рациональные числа геометрически располагаются на сопоставленных им точках отрезка. Тогда сечение $\sqrt{N}$, расположенное среди рациональных чисел, разместится в точке отрезка, не сопоставленной никакому рациональному числу. Противоречие.

Добавлено спустя 25 минут 4 секунды:

MaximKat писал(а):

Инт в сообщении #193641 писал(а):

"контрпример", где обсуждаемое было не так

в какой именно рациональной точке обсуждаемое было "не так"?

Поясняю. Конечно, после того как AD перешёл на разрывные отображения, действительно, для рациональных точек AD ввёл условия невыполнимые для внесения в $\delta$-окрестность соответствующего отрезка, т.е. сделал "всё так". Но как из этого извлекается, что оставшиеся не рациональные точки образуют несчётное множество? Поскольку, и на некотором счётном множестве $S$ можно организовать такой же трюк, обозначив в качестве "множества рациональных чисел" некоторое счётное подмножество множества $S$.

[MaximKat]

Инт
если вы считаете, что доказательство AD содержит ошибку, то укажите ее
если вы считаете, что его можно распространить на рациональные числа, то сделайте это
"а то вы все обещаете и обещаете..."

[Инт]

MaximKat писал(а):

Инт
если вы считаете, что доказательство AD содержит ошибку, то укажите ее
если вы считаете, что его можно распространить на рациональные числа, то сделайте это
"а то вы все обещаете и обещаете..."

ОК

[AD]

Так, Вы ответили, а я прозевал. Извиняюсь за задержку. Продолжаем разъяснения.

Инт в сообщении #193641 писал(а):

Но тогда, зачем Вы сбивали меня с толку приводя свой так называемый "контрпример", где обсуждаемое было не так

ЦИТАТА?

Инт в сообщении #193641 писал(а):

И к такой более "разумной" постановке вопроса у меня и были возражения. Т.е. я просил Вас объяснить почему нельзя применить лемму к счётному множеству. Можете ли дать такое объяснение?

Это я и разъяснил на том примере. А в том примере $\delta(x)>0$ на том самом множестве. А вне этого множества я вообще $\delta(x)$ не определял (и если бы Вы умели читать, то заметили бы это). И нет смысла его там определять, потому что он все равно никогда не выстрелит.

Инт в сообщении #193700 писал(а):

Но как из этого извлекается, что оставшиеся не рациональные точки образуют несчётное множество?

А из этого не надо это извлекать. Мне, во всяком случае, не надо. Вы запутались в импликациях, разберитесь.

Короче, вместе с MaximKat жду ваше доказательство несчетности $\mathbb{Q}$.

[Someone]

Инт в сообщении #193700 писал(а):

Тогда сечение $\sqrt{N}$, расположенное среди рациональных чисел, разместится в точке отрезка, не сопоставленной никакому рациональному числу.

Это почему вдруг?

[Профессор Снэйп]

Инт писал(а):

...если континуум счётен, то можно сопоставить каждому рациональному числу взаимно однозначно действительное число в некоторой достаточно простой процедуре, опирающейся на вполнеупорядочение (пересчёт, если хотите) как континуума (в случае его счётности), так и рациональных чисел.

Вы просто не знаете, что такое вполне упорядоченное множество.

[Инт]

AD писал(а):

Короче, вместе с MaximKat жду ваше доказательство несчетности $\mathbb{Q}$.

Хотел бы заметить, что несчётности $\mathbb{Q}$ я не утверждал. Я утверждаю, что излагаемые Вами рассуждения можно провести и для счётного множества. Поэтому Ваши рассуждения не влекут несчётности. Вам следовало бы изложить доказательство внятно. В частности, из утверждаемых лемм (как они доказываются пока неважно) вывели бы что-ли внятно как вытекает несчётность. Ваше утверждение о существовании убывающих функций или о существовании непостоянных функций, как я вижу, ничего не влечёт. Я конечно, подготовлю и свои рассуждения.

Добавлено спустя 9 минут 45 секунд:

Someone писал(а):

Инт в сообщении #193700 писал(а):

Тогда сечение $\sqrt{N}$, расположенное среди рациональных чисел, разместится в точке отрезка, не сопоставленной никакому рациональному числу.

Это почему вдруг?

По указанной процедуре сопоставления, которая возможна в связи с предположением о счётности отрезка, все точки отрезка оказались сопоставленными рациональным числам, т.е. в некотором смысле "расположились на рациональных числах", или наоборот "рациональные числа расположились на всех точках отрезка" (только лишь в связи с указанным предположением).$\sqrt{N}$ расположен вне множества рациональных чисел, и поэтому, расположится вне сопоставленных точек отрезка (все места среди точек отрезка окажутся заняты рациональными числами).

Добавлено спустя 6 минут 16 секунд:

Профессор Снэйп писал(а):

Вы просто не знаете, что такое вполне упорядоченное множество.

Опрометчивое заявление.

[MaximKat]

Инт в сообщении #194438 писал(а):

Я утверждаю, что излагаемые Вами рассуждения можно провести и для счётного множества.
Я конечно, подготовлю и свои рассуждения.

MaximKat в сообщении #193735 писал(а):

"а то вы все обещаете и обещаете..."

[Инт]

MaximKat писал(а):

Инт в сообщении #194438 писал(а):

Я конечно, подготовлю и свои рассуждения.

MaximKat в сообщении #193735 писал(а):

"а то вы все обещаете и обещаете..."

А Вы всё путаетесь под ногами и путаетесь. Вы никаких доказательств и в помине не приводили. Даже и две мысли в какой-нибудь простейшей импликации не связали. Мне же, чтобы набрать доказательство, нужно полдня. Чтобы обдумать его "для потребителя" - и того больше. Так что ждите.