Потенциал двойного слоя

[Vit_0508]

Вопрос из теории потенциала.

Пусть на гладкой по Ляпунову замкнутой поверхности, ограничивающей трехмерную область, задан двойной слой. Известно, что Ньютонов потенциал двойного слоя во всех точках, не принадлежащих области и ее границе, равен нулю, если плотность двойного слоя постоянна. Может ли быть равным нулю потенциал в этих точках, если плотность двойного слоя не является константой?

Спасибо.

Добавлено спустя 1 час 5 минут 24 секунды:

По правилам форума, при постановке задачи надо высказывать свои соображения. Вот они.

Будем рассматривать потенциал вне области как результат решения внешней задачи Дирихле. Плотность двойного слоя на границе находится как решение интегрального уравнения Фредгольма II рода, свободный член которого есть потенциал на границе. Нулевой потенциал вне области однозначно определяет нулевой след на границе области. Поэтому задача сводится к поиску множества решений однородного уравнения Фредгольма II рода.

Для плоского случая, когда область является кругом, элементарно доказывается, что решением однородного уравнения Фредгольма является только константа.

Как доказать это для общего случая? Может быть, воспользоваться тем, что ядро интегрального уравнения для внешней задачи Дирихле является сопряженным к ядру интегрального уравнения для внутренней задачи Неймана, а для внутренней задачи Неймана доказана единственность с точностью до константы?

[Полосин]

Идея представляется разумной. Воспользуйтесь формулой Грина.

[Vit_0508]

Опять отвечаю сам себе.

Итак, классическое решение внешней задачи задачи Дирихле ( в случае поверхности Ляпунова) существует и единственно. Оно представляется в виде потенциала двойного слоя, если соответствующее граничное интегральное уравнение относительно неизвестной плотности двойного слоя разрешимо. Критерии разрешимости дает альтернатива Фредгольма. Соответствующее однородное уравнение, помимо тривиального нулевого решения, имеет еще решения, соответствующие единственному собственному числу - единице. Эти решения - произвольная константа. Следовательно, уравнение разрешимо, если свободный член данного уравнения ортогонален нетривиальному решению однородного сопряженного уравнения. Любые два решения уравнения отличаются на произвольную константу. (В.Г. Мазья Граничные интегральные уравнения // Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления.Т.27, 1988.часть II, гл.1.)


Так как в постановке исходной задачи уже предполагается, что потенциал есть потенциал двойного слоя, то можно утверждать, что двойной слой определяется по известному созданному им потенциалу с точностью до константы.