Вопрос из теории потенциала.
Пусть на гладкой по Ляпунову замкнутой поверхности, ограничивающей трехмерную область, задан двойной слой. Известно, что Ньютонов потенциал двойного слоя во всех точках, не принадлежащих области и ее границе, равен нулю, если плотность двойного слоя постоянна. Может ли быть равным нулю потенциал в этих точках, если плотность двойного слоя не является константой?
Спасибо.
Добавлено спустя 1 час 5 минут 24 секунды:
По правилам форума, при постановке задачи надо высказывать свои соображения. Вот они.
Будем рассматривать потенциал вне области как результат решения внешней задачи Дирихле. Плотность двойного слоя на границе находится как решение интегрального уравнения Фредгольма II рода, свободный член которого есть потенциал на границе. Нулевой потенциал вне области однозначно определяет нулевой след на границе области. Поэтому задача сводится к поиску множества решений однородного уравнения Фредгольма II рода.
Для плоского случая, когда область является кругом, элементарно доказывается, что решением однородного уравнения Фредгольма является только константа.
Как доказать это для общего случая? Может быть, воспользоваться тем, что ядро интегрального уравнения для внешней задачи Дирихле является сопряженным к ядру интегрального уравнения для внутренней задачи Неймана, а для внутренней задачи Неймана доказана единственность с точностью до константы?
|