2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Пространство многочленов (приближения, многочлены Лежандра)
Сообщение09.03.2009, 21:14 
Найти наименьшее значение интеграла \[
\int\limits_{ - 1}^1 {(t^n  - f(t))^2 dt} 
\] на множестве всех многочленов степени не выше \[ n - 1 \].

Ответ есть, проблемы с решением: \[
\left( {C_{2n}^n \sqrt {4n + 1} } \right)^{ - 1} 
\]

 
 
 
 
Сообщение09.03.2009, 21:33 
Ответ несколько странный: должно быть вроде как $${2^{2n+1}\over(2n+1)\left(C_{2n}^n\right)^2}$$

(это -- $\left\|{1\over a_0}P_n\right\|^2$, где $P_n$ -- многочлен Лежандра и $a_0$ -- его старший коэффициент)

 
 
 
 
Сообщение09.03.2009, 21:35 
А как Вы пришли к этому ответу?

 
 
 
 
Сообщение09.03.2009, 21:41 
$$\text{минимум этого интеграла}=\min\limits_{\vec\beta}\left\|t^n-\sum_{k=0}^{n-1}\beta_kP_k\right\|^2=\min\limits_{\vec\gamma}\left\|{1\over a_0}P_n-\sum_{k=0}^{n-1}\gamma_kP_k\right\|^2,$$

причём многочлены Лежандра -- ортогональны.

 
 
 
 
Сообщение09.03.2009, 21:44 
Спасибо!

 
 
 [ Сообщений: 5 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group