Пространство многочленов (приближения, многочлены Лежандра)

[Nimza]

Найти наименьшее значение интеграла

\[ \int\limits_{ - 1}^1 {(t^n - f(t))^2 dt} \]

на множестве всех многочленов степени не выше

\[ n - 1 \]

.

Ответ есть, проблемы с решением:

\[ \left( {C_{2n}^n \sqrt {4n + 1} } \right)^{ - 1} \]

[ewert]

Ответ несколько странный: должно быть вроде как

$${2^{2n+1}\over(2n+1)\left(C_{2n}^n\right)^2}$$

(это -- $\left\|{1\over a_0}P_n\right\|^2$, где $P_n$ -- многочлен Лежандра и $a_0$ -- его старший коэффициент)

[Nimza]

А как Вы пришли к этому ответу?

[ewert]

$$\text{минимум этого интеграла}=\min\limits_{\vec\beta}\left\|t^n-\sum_{k=0}^{n-1}\beta_kP_k\right\|^2=\min\limits_{\vec\gamma}\left\|{1\over a_0}P_n-\sum_{k=0}^{n-1}\gamma_kP_k\right\|^2,$$

причём многочлены Лежандра -- ортогональны.

[Nimza]

Спасибо!