Вариационное исчисление (задача Больца)

[Susel]

$$\int\limits_{0}^{1} (\dot x^2 -x) dt - \frac {x^2 (1)} 2 + \frac {x^2 (0)} 2 \to extr$$ $$\dot x = u$$ $$f = u^2 -x$$ $$\psi = \frac 1 2 x^2_0 - \frac 1 2 x^2_1$$ $$H=pu- \lambda_0 f$$ $$l=\lambda_0 \psi =\lambda_0 (\frac 1 2 x^2_0 -\frac 1 2 x^2_1 )$$ $$\left\{ \begin{array}{l} \dot x =\frac {\delta H} {\delta p} =u,\\ \dot p = \frac {\delta H} {\delta x} =-\lambda_0, \end{array} \right.$$ $$p(0)=\frac {\delta l} {\delta x_0} =\lambda_0 x_0$$ $$p(1)=-\frac {\delta l} {\delta x_1} =\lambda_0 x_1$$ $$max H(u)= max (pu-\lambda_0 u^2)$$ 1) Если $\lambda_0 =0$ $$max (pu)$$ $$\left\{ \begin{array}{l} \dot x =u\\ \dot p =0 \end{array} \right$$ $p(0)=0$, $p(1)=0$ , $p(t)=c=0$, $\hat \lambda_0 =0$ , $\hat p(t)=0 \Rightarrow$ нет решения.

2) Если $\lambda_0 >0$. Пусть $\lambda_0 =\frac 1 2$ $$\left\{ \begin{array}{l} \dot x =u\\ \dot p =-\frac 1 2 \end{array} \right$$ $p(o)=\frac 1 2 x_0$, $p(1)=\frac 1 2 x_1$
$max (pu-\frac 1 2 u^2)$, $\hat u =p$ $$\left\{ \begin{array}{l} \dot x =p\\ \dot p =-\frac 1 2 \end{array} \right$$ $$\ddot x +\frac 1 2 = 0$$ $$p=- \frac 1 2 t+c_1$$ $$x=-\frac 1 4 t^2 +c_1 t +c_2$$ $$\left\{ \begin{array}{l} 2c_1 =c_2\\ -1+2c_1 =-\frac 1 4 +c_1 +c_2 \end{array} \right$$ $c_1 =-\frac 3 4 $ , $c_2 = -\frac 3 2 $ $$\hat x =-\frac 1 4 t^2 -\frac 3 4 t -\frac 3 2$$ $$\Delta I=I[\hat x +h]-I[\hat x]$$ $$\int\limits_{0}^{1} (( \hat\dot x +\dot h)^2 -(\hat x +h)) dt+\frac {(\hat x (0)-h(0))^2 } 2 -\frac {(\hat x (1)+h(1))^2} 2 -(\int\limits_{0}^{1} (\hat\dot x^2 -\hat x) dt - \frac {\hat x^2 (1)} 2 + \frac {\hat x^2 (0)} 2)=$$ $$=\int\limits_{0}^{1} (2\hat\dot x\dot h +\dot h^2 -h) dt +\frac 1 2 (2\hat x(0)h(0)+h^2 (0)-2\hat x(1)h(1) -h^2(1))=$$ $$=\int\limits_{0}^{1} (-2\ddot\hat xh +\dot h^2 -h) dt +\frac 1 2 (-3h(0)+h^2(0)+5h(1)-h^2 (1))-h(1)+h(0)=$$ $$=\int\limits_{0}^{1} \dot h^2 dt -\frac 1 2 h(0)+\frac 1 2 h^2 (0) +\frac 3 2 h(1) -\frac 1 2 h^2 (1)$$

Теперь как я понимаю нужно доказать, что это выражение больше или меньше 0. В этом-то и проблема. Или может где-то в решении ошибка?

[Brukvalub]

Стационарную точку Вы нашли верно, хотя гораздо проще ее искать не с помощью выписывания решения общей задачи Лагранжа, а сразу решив УЭЛ и УТ:
$\left\{ {\begin{array}{*{20}c} { - \frac{d}{{dt}}L_{\dot x} + L_x = 0} \\ {2\dot x(0) = x(0)} \\ {2\dot x(1) = x(1)} \\ \end{array}} \right.$
При проверке найденной стационарной точки Вы несколько раз путались в знаках, но это можно поправить.
Мой итог: если в качестве пробных функций взять константы, то можно убедиться, что в любой окрестности стационарной точки ФБ принимает как бОльшие, так и меньшие значения.
Проверьте мой вывод, поскольку я считал второпях и устно.

[Susel]

Хм, а где я напутал в знаках?

[Brukvalub]

Например, в третьей строке снизу - первый слева знак "-" - неверен. И не только там.

[Susel]

Да. Там я просто ошибся, когда с листка перепечатывал.
Есть ли там ошибки которые могли на ответ повлиять?