Нелинейное уравнение

[yla]

Ребята, помогите, пожалуйста по такому заданию: дано уравнение x^4-18x^2+6=0 1) отделить корни аналитически; 2) отделить корни аналитически и уточнить один из них методом половинного деления с точностью до 0,01. Подскажите хотя бы, как начать. И как интервал для половинного деления определить? Я пока только учусь этому предмету, поэтому вопросы такие возникают.

[ewert]

Тут лучше всего поможет рекомендация Остапа небезызвестной Эллочке: "Сударыня, Вас обманули -- Вам продали гораздо лучший мех!".

Т.е. уравнение биквадратно и, следовательно, его корни считаются явно и (в соотв. смысле) точно.

В общем же случае нет универсального способа локализации корней -- хоть алгебраического, хоть марсианского. Поэтому стоит спросить у задачедателя: а что он, собственно, имел в виду?...

[MaximKat]

метод Штурма, видимо

[yla]

Что за метод такой, можете сказать?
При аналитическом способе отделения действительных корней необходимо учитывать следующее: если на концах отрезка [a,b] функция f(x) имеет разные знаки, т.е. f(a)f(b)<0, то между значениями x=a и x=b имеется нечетное количество корней: если f(a)f(b)>0, то на [a,b] имеется четное количество корней или их нет совсем. Если f(a)f(b)<0 и f'(x) не меняет знак на этом отрезке, уравнение F(x)=0 имеет единственный корень на [a,b]. - вот это верно?
Отделить корни аналитически, это, наверное, значит, что нужно установить, что они есть, а потом уточнить их методом половинного деленияю. А если я их просто найду, решив биквадратное уравнение, это и будет - "отделение корней аналитически"?

[kamnev111]

А нельзя просто найти корни?
x^4-18x^2+6=0
x^2=t, t=>0
t^2-18t+6=0
t1,2=9+-(81-6)^{0.5}
t1=9-5(3)^{0.5}>0
t2=9+5(3)^{0.5}>0
x1=-(9-5(3)^{0.5})^{0.5}
x2=(9-5(3)^{0.5})^{0.5}
x3=-(9+5(3)^{0.5})^{0.5}
x4=(9+5(3)^{0.5})^{0.5}

[gris]

Мне кажется, надо найти производную, особые точки, определить их тип, участки возрастания и убывания. В некоторых случаях, как в вашем, точки экстремумов разделяют корни.
А точным решением уравнения как биквадратного, Вы просто проверите себя.
В качестве отрезка для последующегоделения пополам возьмите интервал от 0 до следующего экстремума (3?). В нем лежит корень. Вот его и найдите с требуемой точностью.

[yla]

gris писал(а):

надо найти особые точки, определить их тип,
А точным решением уравнения как биквадратного, Вы просто проверите себя.
В качестве отрезка для последующегоделения пополам возьмите интервал от 0 до следующего экстремума (3?). В нем лежит корень. Вот его и найдите с требуемой точностью.

Что за точки? И почему именно такой отрезок нужно брать, скажите плз.

[gris]

Особые точки, это точки, в которых производная обращается в 0. Если Вы найдёте производную Вашей функции, то увидите, что её корни находятся очень легко. И точки минимумов и максимумов находятся легко.
Так как старший коэффициент многочлена больше нуля, то многчлен положителен да достаточном удалении от нуля.
Вы помните, как по точкам минимума и максимума строится эскиз графика?

А почему интервал [0;3]? Так Вам же надо найти приближённо любой корень.

[yla]

Это что же, любой интервал можно брать?
А, и еще: вы говорите, что нужно постр. эскиз графика. Это будет уже графический метод или нет? Мне, в принципе, нужно отделить корни и графич. методом и аналитическим.

[gris]

Нужно взять интервал, в котором обязательно есть ровно один корень. $(0;3)$ подходит.

Что значит отделить корни? Это и значит - указать на оси $X$ несколько непересекающихся интервалов, каждый из которых содержит ровно один корень уравнения и каждый корень содержится в одном из интервалов.

Что значит отделить аналитически? Это значит, найти интервалы, пользуясь различными теоремами: о количестве нулей многочлена, о том, что непрерывная функция, принимающая на концах отрезка значения разных знаков, имеет корень внутри этого отрезка, а строго монотонная функция - ровно один корень. Нужно не просто подобрать такие отрезки, но и доказать, что в каждом содержится ровно один корень и что число отрезков равно числу корней. Тут нам в помощь производная функции, точки максимумов и минимумов, интервалы монотонности.

Графически корни отделяются с помощьюю эскиза графика.

Вы производную нашли?

[yla]

Производная=4X^3-36x. y'=0, отсюда x1=0; x2=3; x3=-3. -3 и 3 - точки минимума, 0-точка максимума. Как по ним эскиз строить, не помню.

[gris]

Посчитайте значения функции в найденных точках. Ну добавьте ещё парочку - $x_4=-5;\, x_5=5$.

А потом соедините точки на графике плавной кривой линией. Функция чётная, так что Вам надо просчитать только 3 точки. График будет симметричен относительно оси $Y$.

[yla]

Посчитала при 0, 3 и -3 получается во всех случаях y=0. Что такое? Устала уже идти по лабиринту головного мозга.

[gris]

Значения функции, а не производной.
$f(x)=x^4-18x^2+6$

$f(-5)=f(5)=5^4-18\cdot 5^2 +6=625-450+6=175$

$f(-3)=f(3)=3^4-18\cdot 3^2 +6=81-162+6=-75$

$f(0)=0^4-18\cdot 0^2 +6=6$

Только не говорите, что точки у Вас не умещаются на листе бумаги. По оси $y$ возьмите масштаб 1 клеточка это 10, а по оси $x$ одна клеточка это 1.

[yla]

Построила, функция убывает на интервале [-5; -3]U[0;3] Возрастает на интервале [-3;0]U[3;5]. Что дальше?