нахождение интеграла

[AnticitizenOne]

имеет место быть интеграл:

$$ \int e^{\sin{x}} \frac{x\cos^3{x} - \sin{x}}{\cos^2{x}} dx$$

Заранее спасибо за пинок в верном направлении.

[Nxx]

Че это такое? Что означает такая запись?

[AnticitizenOne]

исправил

[Полосин]

Проинтегрируйте по частям.

[vlad239]

Я бы искал ответ в виде $e^{\sin x}\cdot F(x)$ и составляя дифур. Более-менее понятно, что если оно вообще берется (а я видел его в Бермане), то $e^{\sin x}$ -- один из множителей ответа. Откуда бы ему браться иначе?

Влад.

[sergey1]

Разделите почленно, получите 2 интеграла. Первый берется по частям, $u=x$, затем замена $sinx=t$, второй упрощается заменой $cosx=t$

[AnticitizenOne]

$$ \int e^{sin{x}} x cos{x} dx - \int e^{sin{x}} \frac {sin{x}}{cos^2{x}} dx$$

так?

И сделав во втором интеграле, как Вы и сказали, замену

$$ cos{x}=t $$

получается

$$ - \int e^{\sqrt{1-t^2}} \frac{dt}{t^2} $$

, да?

[ewert]

Нет, по отдельности они не берутся, а вот вместе -- ради бога. Имеем:

$$\int e^{\sin x}\left(x\,\cos x-{\sin x\over\cos^2x}\right)dx=$$

$$=\int e^{\sin x}x\,d\sin x-\int e^{\sin x}d\left({1\over \cos x}\right)=\int x\,d\left(e^{\sin x}\right)-e^{\sin x}{1\over \cos x}+\int e^{\sin x}dx=\dots$$

Чего-то я увлёкся. Что будет, если теперь снова объединить два получившихся интеграла?

[AnticitizenOne]

а разве не

$$ \int e^{sin{x}} x d sin{x} $$

+

$$ \int e^{sin{x}} d({\frac{1}{cos{x}})$$

?
Ведь при подведении под знак дифференциала получается

$$ d ($$

-

$$cos{x}) $$

.

[ewert]

нет, Вы зевнули, что степень -- тоже минус первая.

Кстати, тот же способ решения можно оформить и более тупо. С первым слагаемым ничего вообще не делаем (с ним самим по себе ничего разумного и не сделаешь), а вот второе просто напрашивается на интегрирование по частям. И тогда после двукратного интегрирования по частям второго слагаемого оба интеграла сократятся, и останется чистый ответ.

[AnticitizenOne]

Большое спасибо, теперь понятно.