Асимптотика Метод Лапласа

[nosorog]

В методе Лапласа есть интеграл, условия для постановки задачи, в ходе метода необходимо найти асимптотическое представление интеграла. Мой вопрос заключается в том, что я не знаю, как доказывать, что один интеграл $f\sim g$ другому интегралу при $x\to 0$?
рассматривать предел от дроби этих интегралов +метод Лопиталя?

[gris]

Уберите из Вашего сообщения все теги math и пользуйтесь только знаком доллара $.

$f\sim g$ другому интегралу при $x \to 0$?

[nosorog]

спасибо за совет=)

[Henrylee]

nosorog писал(а):

В методе Лапласа есть интеграл, условия для постановки задачи, в ходе метода необходимо найти асимптотическое представление интеграла. Мой вопрос заключается в том, что я не знаю, как доказывать, что один интеграл $f\sim g$ другому интегралу при $x\to 0$?
рассматривать предел от дроби этих интегралов +метод Лопиталя?

Ваша цель какова? Эти интегралы или меод Лапласа использовать? А вообще, предъявите их сюда. И чего Вы хотите сделать.

[nosorog]

есть интеграл лаплпаса, то есть

$$\int\limits_{a}^{b} f(x) exp(t*h(x))dx$$

, где t стремится к бесконечности.
и условия, что промежуток интегрирования конечен, $f(x)$, $h(x)$ непрерывны на [a,b], $max(h(x))$=$h(x0)$ и этот максимум один, $f(x0)$ не равно 0, $h(x)$=$h0$-$h2(x-x0)^2$+$O((x-x0)^3)$, где $x\to x0$, h2>0

потом рассуждая о особенностях этих условий, понимаем, что в окрестности максимума происходит локализация с ростом t, тогда этот интеграл можно представить в виде интеграла разбитого по трем промежуткам. [a,b]=[a,x0-$\varepsilon$]+[x0-$\varepsilon$,x0+$\varepsilon$]+[x0+$\varepsilon$,b], $\varepsilon$=$\varepsilon(t)$, стремящееся к 0, при росте t.
и вот рассматривая интеграл по среднему промежутку , получается

$$\int\limits_{x0-\varepsilon}^{x0+\varepsilon} f(x) exp(t*h(x))dx$$

эксивалентен f(x0)*exp(t*h0)*

$$\int\limits_{x0-\varepsilon}^{x0+\varepsilon} exp(-t*h2(x-x0)^2)dx$$

,
где t*$\varepsilon^3$ стремится к 0

и вот здесь я не понимаю, почему этот переход верный, точнее я думала, что просто раскладываю по Тейлору f(x), h(x) и все, но мой преподаватель сказал, что это очень тонкий момент.

[ewert]

Этот переход пока ещё неверен, надо ещё выбрать $\varepsilon(t)$ стремящимся к нулю при $t\to+\infty$, но достаточно медленно -- так, чтобы $\varepsilon^2(t)\cdot t\to\infty$, например $\varepsilon(t)=\sqrt[3] t$ (фактически годится любая степень меньше половинки). Тогда все хвосты всех интегралов будут экспоненциально убывать, кубическая поправка в формуле Тейлора будет давать пренебрежимо малый вклад по сравнению с квадратичной, а главная часть центрального интеграла от экспоненты асиптотически равна интегралу Пуассона.

--------------------------------------------------------
Кстати, при формальном доказательстве по техническим причинам удобнее с самого начала принять $h(x_0)=0$ -- иначе множитель $e^{h(x_0)}$ постоянно путается под ногами, будучи абсолютно не по делу. А заодно положить и $x_0=0$, сдвинув начало координат.