Численный поиск комплексных корней

[Аббат]

Нужно решить уравнение f(z)=0 в комплексной плоскоти. Как лучше это сделать? Я собираюсь методом Ньютона, но не могу найти его нормального опасания для поиска именно комплексных корней. Может, кто посоветует статью или книгу какую-нибудь?

[Imperator]

http://gen.lib.rus.ec/search?req=%D0%9E ... =25&from=0



Посмотрите на 153-й странице.

[Gafield]

Цитата:

Нужно решить уравнение f(z)=0 в комплексной плоскоти.

Это учебное задание или ответ надо найти?

[ewert]

Аббат в сообщении #192147 писал(а):

Я собираюсь методом Ньютона,

Вот и ищите. Непосредственно методом Ньютона, но -- в комплексном варианте (поскольку речь явно про аналитические функции, иначе комплексность вообще не при чём).

Если корни, конечно, уже локализованы. Если же нет -- то я не в курсе, но, как мне кажется, никаких специфически-аналитических методов локализации вроде и нет.

[Gafield]

Есть теорема о приращении аргумента - интеграл по контуру от логарифма равен разности числа корней и полюсов внутри контура. В некоторых случаях, напр., для дзета функции, доказываются специальные утверждения

[ewert]

Несерьёзно. Поди найди ещё этот интеграл по контуру. И уж тем более поди перебери все контура.

Нет, конечно, если уже известно, что корень где-то там локализован, то это поможет доказать, что он локализован, да только кому это практически нужно -- доказывать то, что и без того известно?...

[Gafield]

Почему же? Численно совсем нетрудно. Число корней целое А если надо найти, скажем, все корни в заданной области, то неплохо бы сначала узнать, сколько их там.

[ewert]

ну, положим, количество корней мы и определим. Какая с того радость? Мы и так заранее знаем, что оно конечно. А вот поди локализуй каждый конкретный корень.

И, кстати, на локализации проблемы не заканчиваются. Локализация сама по себе ещё не гарантирует сходимость какого-нибудь регулярного метода.

[Gafield]

Ну, такая информация уже ценность. Одно дело два корня, а другое двадцать.

Если область - большой квадрат, поделим на маленькие
Скажем на сто. Там, где корней больше одного, еще поделим.
А если он окажется один, может, особо локализовать ничего не придется. Запустить метод Ньютона или градиентного спуска...

[ewert]

Gafield в сообщении #192188 писал(а):

или градиентного спуска...

а если мы случайно вывалимся за некоторый перевал?...

Короче -- нет абсолютно надёжных методов локализации. Даже в аналитическом случае.

[Gafield]

Вообще говоря, конечно. Однако, если область ограничена, а число корней в ней конечно, что мешает проводить эту поцедуру деления до достижения нужной точности? Ну, могут быть оговорки, вроде того, что корни ближе, чем используемая точность вычислений...

[Аббат]

в общем уравнение такое:

$z^k = \frac 1 {1+\rho(1-z))}$ при |z|$\leqslant $1

уравнение имеет ровно k корней, мне надо найти корни для фиксированного k. Скажем, для начала пусть k=4. Как я понял, метод Ньютона, это метод локального поиска? Для начала надо корни локализовать? Как это лучше сделать?

[Gafield]

Что знаачит $z\le1$, если корни комплексные? Количество корней зависит от $\rho$, но вообще-то $k+1$. Все сводится к нахождению корней многочлена, а для этого есть какие-то алгоритмы.

[Аббат]

Gafield писал(а):

Что знаачит $z\le1$, если корни комплексные?

прошу прощения, там z под модулем.

Gafield писал(а):

Количество корней зависит от $\rho$, но вообще-то $k+1$. Все сводится к нахождению корней многочлена, а для этого есть какие-то алгоритмы.

От ро количество корней не зависит, ро - это заданное действительное число на (0,1]. (k+1)-ый корень уже будет при |z|>1. Этот корень мне не нужен

[Лиля]

у меня вышло вот что
$z^{k}=\frac{1}{1+\rho(1-z)}$
$z^{k}(1+\rho(1-z))=1$
$z^{k}+\rho z^{k} - \rho z^{k+1}=1$
так как $|z|\leq 1$ to $z=r\cos \phi +ir\sin\phi ,\ \ \ r\in [0, 1]\subset R $
получаем

$$r^{k}\cos k\phi +i r^{k}\sin k\phi+\rho r^{k}\cos k\phi +i\rho r^{k}\sin k\phi-\rho r^{k+1}\cos ((k+1)\phi) -i\rho r^{k+1}\sin ((k+1)\phi)=1$$

делим на 2 уровнения
$r^{k}\cos k\phi +r^{k}\rho\cos k\phi -r^{k+1}\rho\cos ((k+1)\phi) =1$
и
$i r^{k}\sin k\phi +i r^{k}\rho\sin k\phi- i r^{k+1}\rho\sin ((k+1)\phi)=0$
далее
$r^{k}(1+\rho)\cos k\phi-r^{k+1}\rho\cos ((k+1)\phi)=1$
$r^{k}(1+\rho)\sin k\phi=r^{k+1}\rho\sin ((k+1)\phi)$

дальше можно решить эту систему уровнений и найти все $\phi(\rho) \in \left[ 0, 2\pi)$ и $r(\rho)$ тогда корни будут иметь вид $z=r e^{i\phi}$
а при известном $\rho$ можно все легко повычислять из одного любого из этих двух уровнений методоми вычислительной математики

Аббат в сообщении #192147 писал(а):

для поиска именно комплексных корней

и ни какого комплексного поиска не над