Функциональное неравенство

[Genrih]

Доказать, что не существует многочлена, удовлетворяющего для любого $x \in \mathbb{R}$ неравенству $F'(x)F''(x) > F(x)F'''(x)$. Привести пример функции с таким свойством.

______
Решена. Буду рад увидеть и другие идеи.

[evgeny]

Несуществование многочлена очевидно.
Пусть $Q(x) = F^{\prime}F^{\prime\prime}(x) - F(x)F^{\prime\prime\prime}(x) > 0$, где $F(x) = a_nx^n+...a_0, \ a_n\neq 0$.
Если $\deg F < 2$, то $Q\equiv 0$
Если $\deg F \ge 2$, то

$$Q= 2a_n^2n(n-1)x^{2n-3} + ...$$

- многочлен нечетной степени.

Пример среди функций можно взять такой:

$$F(x) = e^{x/2-e^{x}}$$

$$F^{\prime}(x) = \left(\frac 12 +e^{-x}\right)e^{x/2-e^{x}}$$

$$F^{\prime\prime}(x) =\left(\left(\frac 12 +e^{-x}\right)^2 - e^{-x}\right) e^{x/2-e^{x}} = \left(\frac 14 +e^{-2x}\right)e^{x/2-e^{x}}$$

Очевидно, что $ F(x) > 0,\ F^{\prime\prime}(x) > 0$ и $\frac {F^{\prime\prime}(x)}{ F(x)} = \frac 14 +e^{-2x}$ монотонно убывает, следовательно

$$ \left(\frac { F(x)}{F^{\prime\prime}(x)}\right)^{\prime} = \frac{F^{\prime}F^{\prime\prime}(x) - F(x)F^{\prime\prime\prime}(x)}{\left(F^{\prime\prime}(x)\right)^2 }> 0 $$

[Genrih]

Да, оно! Я рассматривал другой немного многочлен, чтобы собрать не в частное функции и второй производной, а в их произведение (но у Вас много проще, да притом сразу). Получился многочлен четной степени, что тоже приводит к противоречию.

И функция $F(x)=e^x+c$ тоже подходит при отрицательных с .
Спасибо.

P.S. evgeny, Вы наверное не заметили - в Вашем примере функция должна быть $e^{\frac{x}{2}-e^{-x}}$