Доказательство формулы Бесселя

[antoshka1303]

Помогите доказать формулу

$$ \int\limits_0^x {x^{'^3 } J_0 (x^{'} )dx^{'} = 2x^2 \cdot J_0 (x) + \left( {x^3 - 4x} \right)J_1 \left( x \right)} $$

[Руст]

Убедитесь, что в нуле совпадают и проверьте совпадение производных слева и справа как функций.

[antoshka1303]

Чего?

[Руст]

При х=0 справа и слева ноль. Поэтому достаточно доказать, что
$x^3J_0(x)=[2x^2J_0(x)+(x^3-4x)J_1(x)]'$

[antoshka1303]

Руст писал(а):

При х=0 справа и слева ноль. Поэтому достаточно доказать, что
$x^3J_0(x)=[2x^2J_0(x)+(x^3-4x)J_1(x)]'$

Хотошо, а это как! Да, ты не напутал, слева должно стоять х с Штрихом

[V.V.]

antoshka1303 писал(а):

Помогите доказать формулу

$$ \int\limits_0^x {x^{'^3 } J_0 (x^{'} )dx^{'} = 2x^2 \cdot J_0 (x) + \left( {x^3 - 4x} \right)J_1 \left( x \right)} $$

Есть такая хорошая штука. Называется преобразование Лапласа...

[Руст]

antoshka1303 писал(а):

Руст писал(а):

При х=0 справа и слева ноль. Поэтому достаточно доказать, что
$x^3J_0(x)=[2x^2J_0(x)+(x^3-4x)J_1(x)]'$

Хотошо, а это как! Да, ты не напутал, слева должно стоять х с Штрихом

Вряд ли он это поймёт, если задаёт такие замечания. Я решил человек безнадёжен.

[shwedka]

antoshka1303 писал(а):

Руст писал(а):

При х=0 справа и слева ноль. Поэтому достаточно доказать, что
$x^3J_0(x)=[2x^2J_0(x)+(x^3-4x)J_1(x)]'$

Хотошо, а это как! Да, ты не напутал, слева должно стоять х с Штрихом

никаких штрихов!!
Штрих стоял в исходном уравнении для обозначения переменной интегрированию.

Такие задачи ты уже решал. Возьми представление Бесселей в виде рядов, подставь в это уравнение и проманипулируй с рядами.

[antoshka1303]

shwedka писал(а):

antoshka1303 писал(а):

Руст писал(а):

При х=0 справа и слева ноль. Поэтому достаточно доказать, что
$x^3J_0(x)=[2x^2J_0(x)+(x^3-4x)J_1(x)]'$

Хотошо, а это как! Да, ты не напутал, слева должно стоять х с Штрихом

никаких штрихов!!
Штрих стоял в исходном уравнении для обозначения переменной интегрированию.

Такие задачи ты уже решал. Возьми представление Бесселей в виде рядов, подставь в это уравнение и проманипулируй с рядами.

То есть тупо по определению?

[antoshka1303]

Значит так
докажем вот это

$$ x^3 J_0 (x) = \frac{d} {{dx}}\left( {2x^2 \cdot J_0 (x) + \left( {x^3 - 4x} \right)J_1 \left( x \right)} \right) $$

рассмитрим

$$ \frac{d} {{dx}}\left( {2x^2 \cdot J_0 (x) + \left( {x^3 - 4x} \right)J_1 \left( x \right)} \right) $$

$$ \frac{d} {{dx}}\left( {2x^2 \cdot J_0 (x) + \left( {x^3 - 4x} \right)J_1 \left( x \right)} \right) = 4xJ_0 (x) + 2x^2 J_0^{'} (x) + \left( {3x^2 - 4} \right)J_1 \left( x \right) + \left( {x^3 - 4x} \right)J_1^{'} \left( x \right) $$

$$ \eqalign{ & 4xJ_0 (x) + 2x^2 J_0^{'} (x) + \left( {3x^2 - 4} \right)J_1 \left( x \right) + \left( {x^3 - 4x} \right)J_1^{'} \left( x \right) = \cr & 4xJ_0 (x) + 2x^2 J_0^{'} (x) + 3x^2 J_1 \left( x \right) - 4J_1 \left( x \right) + x^3 J_1^{'} \left( x \right) - 4xJ_1^{'} \left( x \right) \cr} $$

Что дальше делать?
Я в правильном направлениии?

[shwedka]

вполне. Теперь подставить ряды и собрать одинаковые степени

[antoshka1303]

хорошо
по определению

$$ J_n (x) = \sum\limits_{k = 0}^\infty {\left( { - 1} \right)^k } \frac{1} {{\Gamma \left( {k + 1} \right)\Gamma \left( {k + n + 1} \right)}}\left( {\frac{x} {2}} \right)^{2k + n} $$ $$ J_0 (x) = \sum\limits_{k = 0}^\infty {\left( { - 1} \right)^k } \frac{1} {{\Gamma \left( {k + 1} \right)\Gamma \left( {k + 1} \right)}}\left( {\frac{x} {2}} \right)^{2k} $$

$$ J_1 (x) = \sum\limits_{k = 0}^\infty {\left( { - 1} \right)^k } \frac{1} {{\Gamma \left( {k + 1} \right)\Gamma \left( {k + 2} \right)}}\left( {\frac{x} {2}} \right)^{2k + 1} $$

$$ \eqalign{ & J_0^{'} (x) = \sum\limits_{k = 0}^\infty {\left( { - 1} \right)^k } \frac{1} {{\Gamma \left( {k + 1} \right)\Gamma \left( {k + 1} \right)}}\left( {\frac{1} {2}} \right)^{2k} 2kx^{2k - 1} = \cr & \sum\limits_{k = 0}^\infty {\left( { - 1} \right)^k } \frac{1} {{k!\left( {k - 1} \right)!}}\left( {\frac{x} {2}} \right)^{2k - 1} = \sum\limits_{k = 0}^\infty {\left( { - 1} \right)^k } \frac{1} {{\Gamma \left( {k + 1} \right)\Gamma \left( k \right)}}\left( {\frac{x} {2}} \right)^{2k - 1} \cr} $$

$$ J_1^{'} (x) = \sum\limits_{k = 0}^\infty {\left( { - 1} \right)^k } \frac{1} {{\Gamma \left( {k + 1} \right)\Gamma \left( {k + 2} \right)}}\left( {\frac{1} {2}} \right)^{2k + 1} \left( {2k + 1} \right)x^{2k} $$

Подставить эти ряды и и посмотреть, что получится?

[Аурелиано Буэндиа]

shwedka писал(а):

вполне. Теперь подставить ряды и собрать одинаковые степени

А зачем так усложнять? Мне кажется вполне достаточно воспользоваться формулами дифференцировая

$$ J'_{\nu}(x)=J_{\nu-1}(x)-\frac{\nu}{x}J_{\nu}(x) $$

для $J'_1(x)$ и

$$ J'_{\nu}(x)=-J_{\nu+1}(x)+\frac{\nu}{x}J_{\nu}(x) $$

для $J'_0(x)$.
Решение будет в 2-е строчки.

[shwedka]

Аурелиано Буэндиа
это если эти формулы считаются известными. Но, как мне кажется, у антошки дано только определение Бесселей
antoshka1303 Так и продолжайте

[antoshka1303]

Аурелиано Буэндиа писал(а):

shwedka писал(а):

вполне. Теперь подставить ряды и собрать одинаковые степени

А зачем так усложнять? Мне кажется вполне достаточно воспользоваться формулами дифференцировая

$$ J'_{\nu}(x)=J_{\nu-1}(x)-\frac{\nu}{x}J_{\nu}(x) $$

для $J'_1(x)$ и

$$ J'_{\nu}(x)=-J_{\nu+1}(x)+\frac{\nu}{x}J_{\nu}(x) $$

для $J'_0(x)$.
Решение будет в 2-е строчки.

Ой, спасибо, я доказал эти формулы и воспользовался ими. Тка что обошелся без испрользования рядов;)Спасибо большое