Дискретная мера в R и её функция распределения

[id]

Столкнулся с довольно странной задачей, главное, что то, что именно в ней требуется написать, так и не сказали.

Дана дискретная мера, а именно каждой точке $x_i \in \mathbb{Q} \bigcap [0,1]$ поставлено в соответствие некоторое число $p_i, \ \forall i \in \mathbb{N} \ p_i>0$. Можно считать, что $p_i = 2^{-i}$, хотя для самой задачи нужно лишь, чтобы ряд сходился ( абсолютно ).
При этом
$\mu(A) = \sum\limits_{i: x_i \in A} p_i$.
Далее, этой ( вероятностной ) мере ставится в соответствие функция распределения $F(x) = \mu((-\infty,x])$.
Требуется ее исследовать и нарисовать график обратной функии, а для усвоения принципа еще и нарисовать график обратной к канторовой лестнице.

По порядку.
1) Функция $F(x)$ будет монотонной, во всех рациональных точках иметь разрыв первого рода, равный для $x_i$ $p_i$, непрерывна справа. Во всех иррациональных точках функция будет непрерывна ( не установил еще, будет ли $Im \ F$ счетным? кажется, нет, ясно лишь, что $\mu^{*}(Im \ F) = 0$ ).
2) Канторова лестница (в данном пункте это будет $G(x)$) принимает каждое двоично-рациональное значение из $(0,1)$ в континнууме точек, поэтому вместо обычного определения обратной, видимо, нужно использовать что-то в духе $G^{-1}(y) = sup\{ x \in Dom \ G: \ G(x) = y\}$
Таким образом, в двоично-рациональных точках $G^{-1}(y)$ будет иметь разрыв 1го рода, величина - длина соовтетствующего отброшенного интервала при построении кант. сов. множества.
В двоично-иррациональных, полагаю, она будет непрерывной, но как это строго доказать?
3) Обратная к искходной функции $F(x)$.
График самой $F(x)$ будет, видимо, похож на график $G^{-1}(y)$, с разницей в точках и величинах разрывов.
Т.к. $\mu^{*}(Im \ F) = 0$, обратная, опять же, доопределяется в $[0,1] - Im \ F$ через $F^{-1}(y) = sup \{x \in Dom \ F: F(x) \leqslant y \}$.
В результате получится монотонная, непрерывная функция, похожая в некотором смысле на $G(x)$ ( такое называют devil staircase, если не ошибаюсь).

Вопрос:
Верны ли эти представления? Как доказать те последние утверждения из п.1 и п.2?
Быть может, про подобные функции можно где-то подробнее почитать, чтобы точно не ошибиться?

[bubu gaga]

Просветите, если не трудно, почему $F$ не непрерывная?

[id]

Пусть $x_i$ - некоторая рациональная точка, ей соответствует $p_i$.
Тогда
$\lim\limits_{x \to x_i-} F(x) = \sum\limits_{x_j<x_i} p_j$
$F(x_i) = p_i + \sum\limits_{x_j<x_i} p_j $

[id]

Все-таки были бы интересны хотя бы краткие комментарии...

[lofar]

Множество значений континуально. Для каждого $x\in\mathbb R$ в $\mathbb Q\cap [0,1]$ существует не более 2-х подмножеств таких, что их мера равна $x$.

[id]

lofar

Цитата:

Для каждого $x\in\mathbb R$ в $\mathbb Q\cap [0,1]$ существует не более 2-х подмножеств таких, что их мера равна $x$.

- это связано с тем, что для каждого числа в двоичной системе исчисления существует не более двух записей?

Цитата:

Множество значений континуально.

А это - простое следствие... ( иначе $[0,1] = $ объединение не более чем двухэлементных прообразов счетного мн-ва точек )

Действительно, этот пункт вопроса прояснился. Спасибо!

Добавлено спустя 26 минут 58 секунд:

Правда, в этом моем понимании тут несколько не сходятся "несчетность" и "континуальность" ( без принятия конт. гипотезы )... Это можно как-нибудь поправить?

Добавлено спустя 9 минут 27 секунд:

А, нет, сходятся.

[lofar]

Да, вы все верно поняли.

[id]

lofar
Хорошо, спасибо!

all
Если у кого-то появились доп. комментарии - интересно выслушать ( тему самостоятельно поднимать больше, думаю, не буду ).