Вычисление оптимальных смешанных стратегий. Теория игр.

[Georgise]

Изучаю теорию игр по книге J.Casti "Five Golden Rules", в данный момент Теорему Минимакса.

Есть тип игр, в которых нет какой-то одной оптимальной стратегии для каждого игрока, т.е. точка равновесия представляет собой набор двух и более стратегий. Тогда игрок должен использовать оптимальную смешанную стратегию, в которой чистые стратегии чередуются с некоторой вероятностью.
Вопрос: как рассчитать эти вероятности для игры с платежной матрицей 2x2 и 3x3?

Для примера можно рассмотреть платежную матрицу
$\begin{array}{ccc}&AI&AII\end{array}$
$\left| \begin{array}{ccc} 0 & 5/6 \end{array} \right|$ $BI$
$\left| \begin{array}{ccc} 1 & 1/2 \end{array} \right|$ $BII$
в которой игрок $A$ хочет получить максимальную выплату, а игрок $B$ - минимальную.

В книге способ вычесления описан весьма непонятно. Спасибо.

[gris]

Если в матрице нет седловой точки, то есть ей нельзя свести к одному числу, выбрасывая последовательно столбцы и строки, которые не меньше(не больше) других строк, то придётся играть в смешанных стратегиях.
Для матрицы два(В) на сколькоугодно(А) легко решается графически.
Обозначим через $p$ вероятность выбора игроком B первой стратегии. Построим на отрезке $p\in [0;1]$ графики ожидаемого выигрыша при выборе игроком А своих стратегий. Найдем там минимальную из максимальных или максмальную из минимальных точек и она даст оптимальные смешанные стратегии игроков и цену игры.

[Georgise]

gris писал(а):

Найдем там минимальную из максимальных или максмальную из минимальных точек и она даст оптимальные смешанные стратегии игроков и цену игры.

Т.е. если игрок, например, желает получить наименьшую выплату, то он выбирает минимальную точку из максимальных. Но на гафике нет понятия максимальных и минимальных точек, как я понимаю. Точки располагаются в координатах $(x, y)$ и можно только найти либо одну максимальную точку, либо одну минимальную. Так как быть?

[gris]

Графиков столько, сколько стратегий у второго игрока.
Для каждого $p$ мы выбираем среди всех точек, принадлежащих графикам, наименьшую или наибольшую (в зависимости от того, хотим мы максимизировать выигрыш или минимизировать проигрыш). А уже из выбранных точек ищем наибольшую или наоборот наименьшую. Минимакс и максимин.
На самом деле графики ограничивают выпуклую вниз область сверху (в ней мы ищем минимальную точку) и выпуклую вверх область снизу (в ней мы ищем максимальную точку).
Иногда эта одна и та же точка, как в случае матрицы два на два, а иногда разные.

[Georgise]

Ясно, спасибо большое.
Думаю, тему можно закрыть.