2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней. На страницу Пред.  1 ... 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 ... 33  След.
 
 
Сообщение28.02.2009, 21:56 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5710
Мат в сообщении #190498 писал(а):
Кривая Морделла $x^2+k=y^3$ может иметь решения для $k=a^2\pm b^3$

Наверное, имелось в виду $x^3+k=y^2$ - тогда да, не только может, а и имеет. А именно для $k=a^2\pm b^3$ существует как минимум такое решение: $(x,y)=(\mp b,a).$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение28.02.2009, 22:04 
Заблокирован
Аватара пользователя


16/12/08

467
Краснодар
maxal
Согласен. Плюс. Если $k=a^2\pm b^3$, $a\neq x, b\neq y$, то уравнение Морделла можно представить:
$x^2-a^2=y^3\pm b^3$.
Т.к. $y^3\pm b^3$ не может быть простым числом, то оно имеет хотя бы два множителя. Но тогда его всегда можно представить разностью квадратов $x^2-a^2$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение28.02.2009, 22:50 
Аватара пользователя


25/03/08
241
Мат писал(а):
.
Т.к. $y^3\pm b^3$ не может быть простым числом, то оно имеет хотя бы два множителя. Но тогда его всегда можно представить разностью квадратов $x^2-a^2$.

Представьте мне в виде разности квадратов число $3^3-1^3=26$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение28.02.2009, 22:55 
Заблокирован
Аватара пользователя


16/12/08

467
Краснодар
Nilenbert писал(а):
Представьте мне в виде разности квадратов число $3^3-1^3=26$

В данном случае число $y$ может быть любое, поэтому можно подобрать $y$ так, что $y^3\pm b^3\neq 4k+2$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение28.02.2009, 23:52 
Аватара пользователя


25/03/08
241
Мат писал(а):
В данном случае число $y$ может быть любое, поэтому можно подобрать $y$ так, что $y^3\pm b^3\neq 4k+2$

Тогда не надо говорить, что:
Цитата:
его всегда можно представить разностью квадратов .

Вы, надеюсь понимаете разницу между "всегда" и "иногда"?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение01.03.2009, 03:12 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5710
Мат писал(а):
Если $k=a^2\pm b^3$, $a\neq x, b\neq y$, то уравнение Морделла можно представить:
$x^2-a^2=y^3\pm b^3$.
Т.к. $y^3\pm b^3$ не может быть простым числом, то оно имеет хотя бы два множителя. Но тогда его всегда можно представить разностью квадратов $x^2-a^2$.

Во-первых, не всегда. А, во-вторых, даже если и можно, то кто сказал, что вычитаемый квадрат у вас будет равен именно $a^2$ ?!
Здесь $a$ - это изначально фиксированное число, и свобода выбора есть только для $x^2$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение01.03.2009, 22:56 


06/12/08
115
СООБЩЕНИЕ О ФОРМУЛАХ---вычисления $a,b,c,d,$ таких, что
$a^2-ab+b^2=c^2+d^2$.


Ранее на стр. 7 я уже давал такие формулы. Но очень скоро обнаружил, что те формулы не охватывают все числа. Пришлось заново подработать этот вопрос и получить формулы, которые полностью решают эту задачу. Это утверждение основано на процедуре вывода формул, которую к сожалению я привести не могу ввиду ее громоздкости. Вот эти формулы:
$a=l_1^2+l_2^2+4l_1l_2+2l_1t+2l_2t+t^2$ деленное на $t$
$b_1=l_1^2+l_2^2+4l_1l_2+2l_2t$ деленное на $t$
$b_2=2l_1+t$
$c=l_1^2+l_2^2+4l_1l_2+l_1t+2l_2t$ деленное на $t$
$d=2l_1+l_2+t$
В этих формулах $t=1,2,3,…$ ; числа $l_1 ,l_2$ могут принимать любые значения: положительные, отрицательные, нулевые, равные, не равные значения. По этим формулам будут вычисляться как целые числа, так и дроби. Но и те и другие удовлетворяют равенству
$a^2-ab+b^2=c^2+d^2$. Целые числа получим при $t=1$, а также если $l_1 , l_2$ содержат множитель $t$
Видим, что значения чисел $a,b,c,d$ зависит от трех параметров. Не совсем приятно, но такова реальность, таковы соотношения между не полными суммами-разностями квадратов и полными суммами квадратов. И если кто-нибудь сможет выявить дополнительные закономерности в этих соотношениях и сумеет упростить формулы---было бы прекрасно!
Суммы оснований (чеслители)
$a+b_1=2l_1^2+2l_2^2+8l_1l_2+2l_1t+4l_2t+t^2$
$a+b_2=l_1^2+l_2^2+4l_1l_2+4l_1t+2l_2t+2t^2$
Решить могут или не могут быть равны квадрату эти суммы, видимо не возможно. А очень бы этого хотелось!
Приведу выкладки получения тождества:
$$a^2=l_1^4+l_2^4+18l_1^2l_2^2+8l_1^3l_2+8l_1l_2^3+4l_1^3t+4l_2^3t+20l_1^2l_2t+20l_1l_2^2t+6l_1^2t^2+6l_2^2t^2+16l_1l_2t^2+4l_1t^3+4l_2^3+t^4$$
$$a*b_1=-(l_1^4+l_2^4+18l_1^2l_2^2+8l_1^3l_2+8l_1l_2^3+2l_1^3t+4l_2^3+12l_1^2l_2t+18l_1l_2^2t+l_1^2t^2+5l_2^2t^2+8l_1l_2t^2+2l_2t^3)$$
$$b_1^2=l_1^4+l_2^4+18l_1^2l_2^2+8l_1^3l_2+8l_1l_2^3+4l_1^2l_2t+16l_1l_2^2t+4l_2^3t+4l_2^2t^2$$
Сумма этих трех слагаемых
$$l_1^4+l_2^4+18l_1^2l_2^2+8l_1^3l_2+8l_1l_2^3+2l_1^3t+4l_2^3t+12l_1^2l_2t+18l_1l_2^2t+5l_1^2t^2+5l_2^2t^2+8l_1l_2t^2+4l_1t^3+2l_2t^3+t^4$$
$$c^2=l_1^4+l_2^4+18l_1^2l_2^2+8l_1^3l_2+8l_1l_2^3+2l_1^3t+4l_2^3t+12l_1^2l_2t+18l_1l_2^2t+l_1^2t^2+4l_2^2t^2+l_1l_2t^2$$
$$d^2=4l_1^2t^2+l_1l_2t^2+l_2^2t^2+4l_1t^3+2l_2t^3+t^4$$
$$c^2+d^2=l_1^4+l_2^4+18l_1^2l_2^2+8l_1^3l_2+8l_1l_2^3+2l_1^3t+4l_2^3t+12l_1^2l_2t+18l_1l_2^2t+5l_1^2t^2+5l_2^2t^2+8l_1l_2t^2+4l_1t^3+2l_2t^3+t^4$$.
Как видим тождество состоялось, что говорит о верности формул. Petern1.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение01.03.2009, 23:10 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5710
Petern1 в сообщении #190813 писал(а):
Пришлось заново подработать этот вопрос и получить формулы, которые полностью решают эту задачу.

Ваши выкладки не проверял, но даже если они верны, вы все равно не решили задачу полностью. Полностью задача будет решена только тогда, когда вы докажете, что всякое решение уравнения $a^2-ab+b^2=c^2+d^2$ представимо в указанном вами виде.
Пока же можно считать только, что вы нашли лишь некоторое частное решение этого уравнения (при условии, что в выкладках нет ошибки).

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение02.03.2009, 11:31 
Заблокирован
Аватара пользователя


16/12/08

467
Краснодар
maxal писал(а):
Мат писал(а):
Если $k=a^2\pm b^3$, $a\neq x, b\neq y$, то уравнение Морделла можно представить:
$x^2-a^2=y^3\pm b^3$.
Т.к. $y^3\pm b^3$ не может быть простым числом, то оно имеет хотя бы два множителя. Но тогда его всегда можно представить разностью квадратов $x^2-a^2$.

Во-первых, не всегда. А, во-вторых, даже если и можно, то кто сказал, что вычитаемый квадрат у вас будет равен именно $a^2$ ?!
Здесь $a$ - это изначально фиксированное число, и свобода выбора есть только для $x^2$.

Согласен. Точнее для выбора два числа $x$ и $y$ и вопрос лишь в том, можно ли подобрать. Я уверен, что можно, т.к. количество параметров равно числу констант.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение03.03.2009, 13:40 
Заблокирован
Аватара пользователя


16/12/08

467
Краснодар
Задачка: Какие общие множители могут иметь полиномы:
$$\frac{x^{2187}+y^{2187}}{x^{243}+y^{243}}$$ и $$\frac{x^{243}+y^{243}}{x^3+y^3}$$?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение03.03.2009, 14:16 
Заслуженный участник


09/02/06
4401
Москва
Научитесь задавать правильные вопросы. Как полиномы они не имеют общих множителей, т.е. не существует другого полинома делящих их обеих.
Как числа или $d^{240}$ или $27d^{240}$, где $d=(x,y)$.
Я подозреваю, что вас интересует не это, а случай когда x,y разные, т.е $\frac{x^{2187}+y^{2187}}{x^{243}+y^{243}},\frac{a^{243}+b^{243}}{a^3+b^3},(x,y)=1=(a,b)$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение03.03.2009, 16:08 
Заблокирован
Аватара пользователя


16/12/08

467
Краснодар
Руст
А как насчет множителей вида $3^k$, $2\cdot3m+1$?
Когда $x$,$y$ - разные, тоже интересный случай. И как вы полагаете?
Может ли полином:
$$\frac{x^{2187}+y^{2187}}{x^{243}+y^{243}}$$ делиться на $19$?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение03.03.2009, 16:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/07
762
То, чем вы Мат занисаетесь называется "Захват темы", что крайне неэтично по отношению к автору темы/а попросту хамством/, поскольку забивает постами, абсолютно не связанными с темой, саму тему.
Есди вам нечего сказать по поводу последних выводов Petern1, то лучше помолчите.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение03.03.2009, 17:48 
Заблокирован
Аватара пользователя


16/12/08

467
Краснодар
Коровьев
Само ваше появление здесь, как лица, ни разу не сделавшего ничего полезного, уже неэтично. Сделайте сперва что-нибудь, что люди оценят, посмотрите в зеркало, а потом подумайте, а кто я такой, чтобы кому-то делать замечания.
Пока я не увижу от вас действительно хоть одной полезной вещи, буду пропускать ваши замечания. И не только я - любой, кому вы их делаете. Вы не заслужили этого права ничем.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение03.03.2009, 17:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/07
762
Petern1 в сообщении #190813 писал(а):
получить формулы, которые полностью решают эту задачу

maxal в сообщении #190816 писал(а):
докажете, что всякое решение уравнения $a^2-ab+b^2=c^2+d^2$ представимо в указанном вами виде.

Доказать это, мне думается, довольно трудно. Проще опровергнуть контрпримером. Попробую.
Известно.
Целое положительное $m$ представимо в виде равенства двух форм
$m=a^2+ab+b^2=c^2+d^2$ при взаимно простых целых $a,b$ и $c,d$ тогда и только тогда, когда $m$ содержит только простые делители вида $p=12k+1$.
Причём, представление с точностью до порядка сомножителей простого $p$ формой $a^2+ab+b^2$ возможно тремя различными способами, а формой $c^2+d^2$ только одним.
Пример.
$13=4^2-4*3+3^2=4^2-4+1=3^2+3+1=3^2+2^2$
Простое число $61$ удовлетворяет этим требованиям.
В частности $61=c^2+d^2=5^2+6^2$
Если из формулы Petern1 для $d$ при $t=1$ /для целых/ $l_2=d-2l_1-1$ подставить в формулу для $c$, то получим простую формулу:
$c=-3l^2-3l+(d-1)^2$, которой не удовлетворяют $c,d$ равные $5$ или $6$
Впрочем, в арифметике я не силён.
Простите, ошибка. Правильно так
$c=-3l^2-3l+(d^2-1)$,
Тогда
$6=-3*2^2-3*2+(5^2-1)=6$
Пример неудачен. Ведь писал же
Впрочем, в арифметике я не силён.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней.  [ Сообщений: 489 ]  На страницу Пред.  1 ... 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 ... 33  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Stratim


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group