уравнение линии второго порядка

[ACbKA7]

надо привести к простейшему виду уравнение линий второго порядка :
3х^2+xy+2y^2-6x-8y-6=0

Как из этого следует сделать систему, чтобы потом через матрицу можно было бы решить? или есть другие пути?

зы: извиняюсь, если опять не так записала уравнение ( ну не понимаю я как квадраты ставить надо блондинка )

[id]

Просто окружите формулу знаками денежной единицы:
$3x^2+xy+2y^2-6x-8y-6=0$
Используйте только латинские буквы в формулах.

[ACbKA7]

аа, спасибо)

[gris]

Первым делом с помощью преобразования поворота необходимо привести уравнение к виду, не содержащему произведения переменных. Потом с помощью сдвига избавится и от первых степеней (может быть, только у одной переменной).

[matan]

В матрице, которую вы хотите получить, на главной диагонали будут стоять коэфициенты при квадратах, на побочной диагонали - два числа,равные половине коэфициента при $xy$

[gris]

А приводить, я думаю, лучше через собственные значения и собственные векторы. Как у Вас на семинарах это делалось? Напишите хотя бы начало решения.

[ACbKA7]

у меня не было семинаров...в том то и дело, что начало не понимаю

[gris]

А вот скажем можете Вы найти собственные значения матрицы

$$\left( \begin{array}{cc} 3 & 1/2 \\ 1/2 & 2 \end{array} \right)$$

?

[matan]

ACbKA7 в сообщении #190416 писал(а):

у меня не было семинаров...

Это как

[ACbKA7]

ну я перевелась с одного факультета на другой - и теперь вот дали на дом решить, за решение потом экзамен поставят

[gris]

А определитель матрицы умеете считать?
Например,

$$\left| \begin{array}{cc} 3 & 1/2 \\ 1/2 & 2 \end{array} \right|$$

[ACbKA7]

неа

[gris]

Я понял!
Вам надо просто написать решение и всё. Даже не надо ничего объяснять. Ну это проще.
Но вот беда, напишешь, а Ваш преподаватель скажет - а что Вы мне тут понаписали? Надо было методом Лагранжа, а Вы какие-то собственные векторы находили.

А то и вовсе по готовым формулам через инварианты...

[ACbKA7]

не, он пытать не будет..а вообще конечно хотелось бы с объяснением, мож я пойму все-таки когда-нибудь как все это решается

[gris]

Рассмотрим матрицу

$$\left( \begin{array}{cc} 3 & 1/2 \\ 1/2 & 2 \end{array} \right)$$

и найдём её собственные значения.

$$\left| \begin{array}{cc} 3-\lambda & 1/2 \\ 1/2 & 2-\lambda \end{array} \right|=0$$

определитель матрицы второго порядка.

$$4(3-\lambda)(2-\lambda)-1=0$$

Так он считается

$$4\lambda^2- 20\lambda+23=0$$

Квадратное уравнение

$$D=100-92=8$$

дискриминант

$$\lambda_1=\frac{5-\sqrt 2}{2}$$

корни уравнения, то есть

$$\lambda_2=\frac{5+\sqrt 2}{2}$$

собственные значения матрицы.

Вот уж подсказка, так подсказка. Ну а дальше сама немножко. А то меня модератор в угол поставит.
Залезьте в учебник и почитайте про инварианты кривых второго порядка и напишите инварианты A, D, I.