Параметрическое уравнение многомерной поверхности

[Desich1024]

Подскажите пожалуйста параметрическое уравнение многомерной поверхности произвольного порядка... Если оно существует конечно =)

[AD]

В смысле? $x^1=x^1(u^1,\ldots,u^k),\ \ldots\ ,x^n=x^n(u^1,\ldots,u^k), u^j\in\mathbb R,j=0,\ldots,k$ подходит?

[Desich1024]

Да, только хотелось бы поконкретней, здесь не описана сама зависимость координат от параметров, только какая-то абстрактная система...

[Бодигрим]

Я бы еще непрерывность потребовал...

Цитата:

здесь не описана сама зависимость координат от параметров

Интересно, а что _здесь_ описано?

[AD]

А, то есть вы хотите описать все многомерные поверхности одним параметрическим уравнением? Боюсь, не выйдет: даже одномерных связных поверхностей существует хотя бы две - прямая и окружность ...

Или вы хотите какое-то конкретное уравнение для каждой размерности записать? Ну возьмите гиперплоскость ...

[Desich1024]

Бодигрим писал(а):

Интересно, а что _здесь_ описано?

В учебнике по линейной алгебре Вы с легкостью сможете найти уравнение алгебраической поверхности 2-го порядка в неявном виде. Оно имеет вид:

Ax2 + By2 + Cz2 + 2Dxy + 2Exz + 2Fyz + Gx + Iy + Jz + K = 0

Это - конкретная зависимость. Я по ней могу построить любую 3D поверхность 2-го порядка.
Общая же формула F(x,y,z) = 0 мне ни о чем не говорит как вы понимаете, и на практике ее тоже не применить. Это - абстракция.

Добавлено спустя 5 минут 14 секунд:

AD писал(а):

А, то есть вы хотите описать все многомерные поверхности одним параметрическим уравнением? Боюсь, не выйдет: даже одномерных связных поверхностей существует хотя бы две - прямая и окружность ...
Или вы хотите какое-то конкретное уравнение для каждой размерности записать? Ну возьмите гиперплоскость ...

Т.е. вы хотите сказать что общего параметрического уравнения нет? Я знаю точно что есть общее уравнение для любой поверхности порядка m в n-мерном пространстве, заданное в неявном виде. Это что-то наподобие многомерного полинома. А вот насчет параметрического вида не уверен, но думаю что тоже есть.

[незваный гость]

Desich1024 писал(а):

А вот насчет параметрического вида не уверен, но думаю что тоже есть.

Ваша уверенность греет душу, но действительность выливает ушат холодной воды.

Давайте рассмотрим простой случай: плоскость, кривые. Возьмём семейство прямых $y = k_i x + b_i$. Это — алгебраическая кривая соответствующего порядка ($\prod\limits_i (y-k_j x - b_i)=0$). Как Вы представляете себе её параметризацию?

[Desich1024]

незваный гость писал(а):

Ваша уверенность греет душу, но действительность выливает ушат холодной воды.

Вы хотите сказать моя не_уверен_ность? =)

незваный гость писал(а):

Это — алгебраическая кривая соответствующего порядка ($\prod\limits_i (y-k_j x - b_i)=0$). Как Вы представляете себе её параметризацию?

Если честно то я ее себе никак не представляю. Я знаю что есть параметрические уравнения прямой (кривая 1 порядка), сферы, цилиндра, конуса и т.д. И на основе этого я делаю вывод, что может быть есть и параметрическое уравнение любой поверхности. Поэтому я иду на форум, где есть люди которые профессионально занимаются математикой, в надежде что кто-нибудь из них мне скажет так есть такое уравнение или же его нет... И если есть то приведут его вид.
Если точно не знаете, давайте еще подождем, может быть кто-то ответит.

[Draeden]

Думаю лучше поднять эту тему: в ней мало сообщений и автор хотел как раз того же, что и я.

Для параметризации кривой есть метод Драгилева: http://k.foto.radikal.ru/0701/d6899eb31782.gif Приведу саымй простой пример применения этого метода. Есть неявное уравнение окружности: $f(x,y)=x^2+y^2=1$ Будем считать $x$ и $y$ функциями от $t$, тогда продифференцируем по этому аргументу: $f_x x_t+f_y y_t=0$ или $x x_t+y y_t=0$. В этом уравнении две неизвестные функции, поэтому будем искать решение этой системы в таком виде:

$x_t=-y$
$y_t=x$
$x(0)=1$
$y(0)=0$

Решение очевидно: $x(t)=\cos t$ и $y(t)=\sin t$.
Аналогично строится параметризация 3-х мерной кривой заданной пересечением двух поверхностей.

Теперь попробуем найти параметризацию 3-х мерной поверхности, но ничего хорошего не выйдет.

На форуме exponenta.ru приводился пример построения поверхности по её градиенту. Например по формуле $x dx+y dy+z dz=0$ и нач. условию можно как то построить поверхность. Как ?

[Yu_K]

Draeden писал(а):

Теперь попробуем найти параметризацию 3-х мерной поверхности, но ничего хорошего не выйдет.

На форуме exponenta.ru приводился пример построения поверхности по её градиенту. Например по формуле $x dx+y dy+z dz=0$ и нач. условию можно как то построить поверхность. Как ?

Если есть одна заданная точка пов-ти - постройте линию $L$ на этой пов-ти проходящую через эту точку в произвольном направлении, а потом через точки этой линии $L$ постройте сем-во линий выходящих под некоторым углом к этой линии $L$ - по крайней мере там так предложено делать. При численной реализации этого подхода, получите некоторое визуальное представление о пов-ти в виде сем-ва линий. Или с помощью описанного подхода можете построить сем-во линий пересечения исходной пов-ти, например с семейством сфер или плоскостей - получите также некоторый набор линий. Или Вас интересует математическая строгость подхода?

[Draeden]

Надо попробовать, такой способ должен хорошо приближать поверхность. При построении линии $L$ возникла проблема: функция NDSolve в Wolfram (численное решение дифф. уравнений) часто выдаёт линию которая совсем не лежит на поверхности. Поверность простая: $x^2+y^3+z^2=1$. С чем может быть связана такая неточность ?

Первая картинка показывает поверхность $f(r)=f(r_0)$ и построенную линию $r(t),\text{ }r(0)=r_0$
http://s52.radikal.ru/i136/0902/18/7134bfc04048.jpg

Вторая картинка показывает модуль производной кривой $|r'(t)|$ (синяя линяя) и отклонение $|f(r(t))-f(r_0)|$ (красная линяя)
http://i004.radikal.ru/0902/f7/bf3337d5680b.jpg

Функция NDSolve должна выдать кривую достаточно точную для $|t|<1$.

[Yu_K]

Хотите сделать каску для ВС? Вот так выглядит часть пов-ти в РОV-RAY.





Наверное что-то напутали с уравнениями, и что это за линия - геодезическая или
линия пересечения с какой-то другой пов-тью? Напишите здесь ОДУ для своей
линии - народ подскажет что-нибудь.

[Draeden]

Нужно построить поверхность уровня для функции $f(x,y,z)=x^2+y^3+z^2$. Градиент этой функции равен $f'(x,y,z)=\left( 2 x,3 y^2,2 z \right)$. Будем искать решение в виде

$x'=-z$
$y'=0$
$z'=x$
$x(0)=1$
$y(0)=0$
$z(0)=0$

Решение очевидно: $x(t)=\cos t,y(t)=0,z(t)=\sin t$. Функция DSolve в Wolfram даёт правильный ответ. Полагая, что в общем случае дифф. уравнение так просто не решается, решаю численно с помощью NDSolve и получаю кривую r(t) достаточно точную при $|t|<1$. Проверяю решение в помощью графика $f(r(t))$, он должен быть близок к горизонтальной линии, но:



Получается функция NDSolve весьма далека от истины...

Началось всё здесь: http://e-science.ru/forum/index.php?sho ... 9554&st=40

Добавлено спустя 18 минут 2 секунды:

Подставив найденное численное решение в исходное дифф. уравнение я обнаржуил, решение очень точное... Значит это я весьма далёк от истины, а не NDSolve

Добавлено спустя 3 минуты 13 секунд:

Кроме того, если вместо одно из уравнений в системе (например второго) подставить условие связи $f(x,y,z)=1$ то решение получится точное. Почему же исходная система не даёт правильного ответа - кривой на поверхности ?

[Yu_K]

Что-то не понятное Вы пишите - численное решение не совпадает с точным решением для задачи Коши системы трех линейных ОДУ? Там все устойчиво и нет никаких проблем.

В Маткаде параметрическое уравнение некоторой линии на пов-ти (розовая) и расчетная линия (голубая) для системы ОДУ - все нормально.

[Draeden]

Хотя не, всё нормально работает: задача Коши и вправду имеет одно решение Если присмотреться к графику который я нарисовал, то видно, что на оси ординат написано 1, 1, ... Очевидно имеет место баг

Вот функция погрешностей (синяя линия - погрешность решения диффура, красная линия - отклонение кривой от искомой поверхности).


Рисунок полученной кривой. Я нарисовал кривую для диапазона аргументов в полтора раза превышающий тот, для которого NDSolve гарантирует точность. Как видно кривая идёт точно даже за "безопасными" пределами аргумента.


Интересно, что кривая идёт вдоль линии сетки, которую изобразил ContourPlot3D.