Будет ли функция целой?

[Mystery]

Такой вопрос... буду благодарна если кто-то поможет
Есть такие функции:

$$E_0(z)=\left\{\begin{array}{lcl} \exp(e^z+z)+O(z^{-2}), &\mbox{если}\quad z\in A_0,\\ O(z^{-2}), &\mbox{если}\quad z\notin A_0.\\ \end{array} \right. $$

Где $A_0:\,\, x>0,\,\, |y|\leq\pi,\,\, (z=x+iy).$

$$E_n(z)=\left\{\begin{array}{lcl} \exp(e^z+z)+O(z^{-2}), &\mbox{если}\quad z\in A_n,\\ O(z^{-2}), &\mbox{если}\quad z\notin A_n.\\ \end{array} \right. $$

Где $A_n:\,\, x>0,\,\, (2n-1)\pi\leq y\leq(2n+1)\pi,\,\, (z=x+iy).$

Вопрос - будет ли функция $f(z)=\frac{a_1 E_0(z)+a_2 E_1(z)}{ E_0(z)+ E_1(z)}$ целой?

[Brukvalub]

Mystery в сообщении #187784 писал(а):

Такой вопрос... буду благодарна если кто-то поможет
Есть такие функции:

$$E_0(z)=\left\{\begin{array}{lcl} \exp(e^z+z)+O(z^{-2}), &\mbox{если}\quad z\in A_0,\\ O(z^{-2}), &\mbox{если}\quad z\notin A_0.\\ \end{array} \right. $$

Где $A_0:\,\, x>0,\,\, |y|\leq\pi,\,\, (z=x+iy).$

$$E_n(z)=\left\{\begin{array}{lcl} \exp(e^z+z)+O(z^{-2}), &\mbox{если}\quad z\in A_n,\\ O(z^{-2}), &\mbox{если}\quad z\notin A_n.\\ \end{array} \right. $$

Где $A_n:\,\, x>0,\,\, (2n-1)\pi\leq y\leq(2n+1)\pi,\,\, (z=x+iy).$

Вопрос - будет ли функция $f(z)=\frac{a_1 E_0(z)+a_2 E_1(z)}{ E_0(z)+ E_1(z)}$ целой?

Такая функция и голоморфной-то быть не обязана.

[Mystery]

Brukvalub А можно немного прокомментировать? Знаменатель вроде как в нуль обращается только при z=бесконечности... или я что-то пропустила? что-то с ней запуталась совсем...

[Brukvalub]

Brukvalub в сообщении #187792 писал(а):

Brukvalub А можно немного прокомментировать?

Вы сообщаете только асимптотическое поведение функции. Такой информации мало, чтобы сделать заключение о ее голоморфности.

[AD]

Mystery, то есть Brukvalub имеет ввиду, что, скажем, из условия нельзя даже установить, что функция непрерывна. Ведь это самое $O$ может быть хоть функцией Дирихле с соответствующим множителем.

[Mystery]

Поправлю свое первое сообщение - чтобы покорректнее выглядел вопрос...

Существует целая функция $E_0(z)$, такая, что в полуполосе $A_0:\,\, x>0,\,\, |y|\leq\pi,\,\, (z=x+iy).$ имеет место $E_0(z)= \exp(e^z+z)+O(z^{-2})$, а вне выполняется $E_0(z)= O(z^{-2})$
равномерно равномерно при $z\rightarrow\infty.$

Далее $E_n(z)=E_0(z-2\pi ni)$


Вопрос - будет ли функция $f(z)=\frac{a_1 E_0(z)+a_2 E_1(z)}{ E_0(z)+ E_1(z)}$ целой?

[Mystery]

Поправила предыдущее сообщение...

[Mystery]

Простите, что делаю ап... но таки надеюсь, что зайдет кто-то кто поможет мне разобраться....

Т. о. В числителе функция целая, в знаменателе тоже целая и такая, что обращается в 0 только в бесконечности... (вроде ж такая функция больше нигде не обращается в ноль...) в таком случае функция целая или мероморфная?

[Brukvalub]

отношение двух целых функций - целая функция.

[Mystery]

Brukvalub писал(а):

отношение двух целых функций - целая функция.

нет.. ну это уже слишком смелое утверждение - {e^{z}}/{z} - целая? а это отношение двух целых....

[Brukvalub]

Прошу прощения, конечно, описАлся.... отношение двух целых - мероморфная функция, которая не обязана быть целой.

[Mystery]

Аа.. ну это ясно что она мероморфная... но целая, это частный случай мероморфных. Так вот интересует конкретно эта и конкретно будет ли она целой или нет.

Если чуть-чуть ее расписать, то получается что знаменатель
$E_0(z)+E_1(z)\sim \exp(e^z+z)\rightarrow\infty$при $z\in A_{1,0}z\rightarrow\infty$
$E_0(z)+E_1(z)\sim O(z^{-2})\rightarrow 0$ при $z\in A_{1,1}z\rightarrow\infty$
$E_0(z)+E_1(z)\sim \exp(e^z+z)\rightarrow\infty$ при $z\in A_{2,0}z\rightarrow\infty$
$E_0(z)+E_1(z)\sim O(z^{-2})\rightarrow 0$ при $z\in A_{2,1}z\rightarrow\infty$
$E_0(z)+E_1(z)\sim O(z^{-2})\rightarrow 0$ при $z\notin A_1\bigcup A_2 z\rightarrow\infty$

Здесь $A_{1,0}: x>0, |y|<\pi/2,\quad A_{1,1}: x>0, y\in[-\pi,\pi/2)\bigcup(\pi/2, \pi],\\ \qquad A_{2,0}: x>0, y\in(3\pi/2, 5\pi/2),\qquad A_{2,1}: x>0, y\in[\pi,3\pi/2)\bigcup(5\pi/2, 3\pi],$.

При этом, опять таки, $E_0(z)+E_1(z)$ - целая как сумма двух целых.

[Gafield]

Mystery писал(а):

Вопрос - будет ли функция $f(z)=\frac{a_1 E_0(z)+a_2 E_1(z)}{ E_0(z)+ E_1(z)}$ целой?

Смотря какой тут квантор Для $a_1=a_2=1$ будет, во всяком случае можно доопределить. A если для некоторых (любых?) $a_1,a_2$, то напрашиватся идея доказать ограниченность этого отношения на бесконечности. Если да, то целая функция - константа. Следовательно, $E_1(z)=CE_0(z)$, что противоречит условию.

[Mystery]

Gafield писал(а):

Mystery писал(а):

Вопрос - будет ли функция $f(z)=\frac{a_1 E_0(z)+a_2 E_1(z)}{ E_0(z)+ E_1(z)}$ целой?

Смотря какой тут квантор Для $a_1=a_2=1$ будет, во всяком случае можно доопределить. A если для некоторых (любых?) $a_1,a_2$, то напрашиватся идея доказать ограниченность этого отношения на бесконечности. Если да, то целая функция - константа. Следовательно, $E_1(z)=CE_0(z)$, что противоречит условию.

Не очень поняла ход рассуждения...
Какой квантор?
Естественно тут предполагается, что таки $a_1\neq a_2$. Естественно $E_1(z) \neq CE_0(z)$, - по определению.

А почему должна быть целая функция ограничена на бесконечности?- это не так...
или я вообще не поняла о чем Вы говорите?...

[Gafield]

Предположим, что целая. Пусть смогли бы вывести, что ограничена. Тогда она константа. Противоречит условию. Получили бы, что она не целая.