Докажем, что уравнение

не имеет решений при

- простое и ни одно из

,

,

не делит

.
Где
1. Тогда каждое из чисел

,

есть

-ая степень числа, причем:
2. Правую часть данного уравнения можно представить:
Откуда:
3. Т.к. и

и

то и

или
Но т.к.

, то ни

ни

общих множителей с

не имеют откуда:

.
4. Обе полиномные части

и

также представимы:
Откуда:
Т.е.
5. Но т.к. в силу свойства, что никакой полином степени

не может иметь общих множителей с полиномом степени

, где

и

- взаимно простые, то единственные множители числа

, которые могут делиться на полиномную часть

- это

и

. Выше было показано, что

и

- взаимно простые (как полином и основание одного и того же числа

). Тогда лишь

. Но это невозможно.