несобственные интегралы

[leonovaelena]

пожалуйста помогите вычислить интеграл! долго пытаюсь решить никак не получается! хотя бы что за чем делать и предполагаемый ответ!

$$\int_{1}^{\infty} \frac{dx}{(x^2+2x)ln^3 x}$$

Добавлено спустя 3 минуты 25 секунд:

пожалуйста помогите вычислить интеграл! долго пытаюсь решить никак не получается! хотя бы что за чем делать и предполагаемый ответ!

$$\int_{0}^{3} \frac{\sqrt[3] {9}xdx}{\sqrt[3] {9-x^2}}$$

[daogiauvang]

leonovaelena писал(а):

пожалуйста помогите вычислить интеграл! долго пытаюсь решить никак не получается! хотя бы что за чем делать и предполагаемый ответ!

$$\int_{0}^{3} \frac{\sqrt[3] {9}xdx}{\sqrt[3] {9-x^2}}$$

т.е $\int \frac{\sqrt[3] {9}xdx}{\sqrt[3] {9-x^2}}=\frac{-\sqrt[3]{9}}{2}\int \frac{d( 9-x^2}{\sqrt[3] {9-x^2}}=\frac{-\sqrt[3]{9}}{2} \frac{3}{2} \sqrt[3]{(9-x^2)^2} +C$

[ddn]

Разложение подинтегральной функции в ряд Тейлора в точке $x=1$:
$\frac{1}{(x^2+2x)\ln^3(x)}=\frac{1}{(3+4(x-1)+(x-1)^2)\ln^3(1+(x-1))}=\frac{1}{3(x-1)^3}+\sum\limits_{n=-2}^{+\infty}c_n(x-1)^n$
Вблизи $x=1$ преобладает первый член, поэтому
$\int\limits_{1}^{1+\varepsilon}\frac{dx}{(x^2+2x)\ln^3(x)}\to\int\limits_{1}^{1+\varepsilon}\frac{dx}{3(x-1)^3}=-\frac{2}{3}\frac{1}{(x-1)^2}\left|_{1}^{1+\varepsilon}=\frac{2}{3}\left(\frac{1}{0^2}-\frac{1}{\varepsilon^2}\right)=+\infty$
Поскольку подинтегральная функция положительна всюду на $[1;+\infty)$, то интеграл существует и равен $\int\limits_{1}^{+\infty}\frac{dx}{(x^2+2x)\ln^3(x)}=+\infty$

[antbez]

[quote="leonovaelena"]пожалуйста помогите вычислить интеграл! долго пытаюсь решить никак не получается! хотя бы что за чем делать и предполагаемый ответ!

$$\int_{1}^{\infty} \frac{dx}{(x^2+2x)ln^3 x}$$

Вблизи единицы расходится- сразу видно!