Трудности при решении дифференциального уравнения

[Anton_74]

Во время вывода уравнения решается задача:

"$-\Phi'(\xi) + \Sigma(\xi)\Phi(\xi)= \tilde S(\xi) $"
Г.У.

$$\Phi(\xi_0)=f$$

Необходимо решить однородное уравнение
"$-\Phi'(\xi) + \Sigma(\xi)\Phi(\xi)= 0 $"
....

$$ \frac {d\Phi}{\Phi(\xi)} = \Sigma(\xi)d\xi$$

После интегрирования получается ответ

$$ ln\Phi(\xi) = \int\limits _0^\xi \Sigma(\xi')d\xi' +C(\xi) $$

Получается мы правую часть проинтегрировали по

$$\xi'$$

от 0 до

$$ \xi$$

, а левую каким образом? В смысле слева должно быть вроде так

$$ln\Phi(\xi)-ln\Phi(0)$$

.
хотя далее

$$\Phi(\xi)$$

ищется в виде

$$ \Phi(\xi) = \varphi(\xi)exp\left\{\int\limits _0^\xi \Sigma(\xi')d\xi'\right\} $$

Или может я чего то не знаю?

[Dan B-Yallay]

Anton_74 писал(а):

Во время вывода уравнения решается задача:

"$-\Phi'(\xi) + \Sigma(\xi)\Phi(\xi)= \tilde S(\xi) $"
Г.У.

$$\Phi(\xi_0)=f$$

Необходимо решить однородное уравнение
"$-\Phi'(\xi) + \Sigma(\xi)\Phi(\xi)= 0 $"
....

$$ \frac {d\Phi}{\Phi(\xi)} = \Sigma(\xi)d\xi$$

После интегрирования получается ответ

$$ ln\Phi(\xi) = \int\limits _0^\xi \Sigma(\xi')d\xi' +C(\xi) $$

Получается мы правую часть проинтегрировали по

$$\xi'$$

от 0 до

$$ \xi$$

, а левую каким образом? В смысле слева должно быть вроде так

$$ln\Phi(\xi)-ln\Phi(0)$$

.
хотя далее

$$\Phi(\xi)$$

ищется в виде

$$ \Phi(\xi) = \varphi(\xi)exp\left\{\int\limits _0^\xi \Sigma(\xi')d\xi'\right\} $$

Или может я чего то не знаю?

Cкорее всего знаете, но скрываете...
Ну для начала: константа интегрирования, (та которая "плюс це") появляется когда берете неопределенный интеграл:

$$ln\Phi(\xi) = \int\limits \Sigma(\xi')d\xi' +C \qquad \text{где С есть именно константа или во всяком случае - не функция от } \ \xi$$

Если же берете определенный, тогда получаете (основная теорема матанализа):

$$ln\Phi(\xi)-ln\Phi(0)=\int\limits _0^\xi \Sigma(\xi')d\xi' \quad \text{или, что то же самое:}\qquad ln\Phi(\xi)=ln\Phi(0)+\int\limits _0^\xi \Sigma(\xi')d\xi' $$

Кроме того, вам не зря дано Г.У.$\Phi(\xi_0)=f$

$$ \ln \Phi(\xi)= \ln f+ \int\limits _{\xi_0}^\xi \Sigma(\xi')d\xi' $$

Далее, из курса школьной алгебры: $\ln \alpha = \beta + \gamma \quad \Rightarrow \quad \alpha=e^{\beta}\cdot e^{\gamma}$ получаем

$$ ln\Phi(\xi) = \ln f +\int\limits _{\xi_0}^\xi \Sigma(\xi')d\xi' \qquad \Rightarrow \qquad \Phi(\xi)= f \cdot \exp(\int\limits _{\xi_0}^\xi \Sigma(\xi')d\xi') $$

Теперь когда будете решать неоднородное уравнение, сомножитель $f$ преобразуется в функцию $\varphi(\xi)$

[Anton_74]

Спасибо, Dan B-Yallay. Все понятно, только тогда не очень хорошо согласуется, на мой взгляд, с выводом уравнения. Приведу его полностью.
"Запишем уравнение в виде

$$-\Phi'(\xi) + \Sigma(\xi)\Phi(\xi)= \tilde S(\xi)\text{ (1)}$$

и граничное условие

$$\Phi(\xi_0)=f. \text{ (2)}$$

Предположим, что правая часть (1) известна, и приступим к решению этого неоднородного дифференциального уравнения.
Решение соответствующего однородного уравнения есть

$$exp\left\{\int\limits _0^\xi \Sigma(\xi')d\xi'\right\}$$

,
поэтому функцию

$$\Phi(\xi)$$

следует искать в виде

$$ \Phi(\xi) = \varphi(\xi)exp\left\{\int\limits _0^\xi \Sigma(\xi')d\xi'\right\} \text{ (3)}$$

Подставив (3) в (1) и проинтегрировав по

$$\xi$$

от произвольного значения до

$$\xi_0$$

, получим

$$\varphi(\xi) = \varphi(\xi_0) + \int\limits_{\xi}^{\xi_0}\tilde S(\xi)exp \left\{ -\int\limits_0^{\xi'}\Sigma(\xi'')d\xi'' \right\} d\xi'\text{ (4)}$$

Из (2)-(4) следует выражение

$$\Phi(\xi) = f exp \left\{ -\int\limits_\xi^{\xi_0}\Sigma(\xi')d\xi' \right\} + \int\limits_{\xi}^{\xi_0}\tilde S(\xi)exp \left\{ -\int\limits_\xi^{\xi'}\Sigma(\xi'')d\xi'' \right\} d\xi' \text{ (5)}$$

"

У меня по этому выводу есть некоторые непонятные моменты:
1) В формуле (1) интеграл берется от 0 до

$$\xi$$

, хотя на мой взгляд нижний предел должен браться по значеню из граничного условия.


2)Вывод окончательного результата (5) в принципе понятен, для начала, чтобы получить выражение для функции

$$\varphi(\xi)$$

принимают в третьем уравнении

$$\xi = \xi_0$$

и получается

$$ \Phi(\xi_0) = f = \varphi(\xi_0)exp\left\{\int\limits _0^{\xi_0}\Sigma(\xi')d\xi'\right\}=$$

.
отсюда получается, что

$$\varphi(\xi_0) = \frac{f} {exp\left\{\int\limits_0^{\xi_0}\Sigma(\xi')d\xi'\right\}}=fexp\left\{-\int\limits_0^{\xi_0}\Sigma(\xi')d\xi'\right\}$$

Теперь этот результат подставляют в уравнение (4), т.е.

$$\varphi(\xi) = fexp\left\{-\int\limits_0^{\xi_0}\Sigma(\xi')d\xi'\right\} + \int\limits_{\xi}^{\xi_0}\tilde S(\xi)exp \left\{ -\int\limits_0^{\xi'}\Sigma(\xi'')d\xi'' \right\} d\xi' \text{ (6)}$$

.
И для того чтобы получить окончательный результат (5) подставляем (6) в (3).
Первое слагаемое в (5) получается при сложении показателей у экспонент, оставляем знак минус в показателе степени поэтому и полечам в пределах интегрирования от

$$\xi$$

до

$$\xi_0$$

.
Непонятно для меня второе слагаемое, т.е. при перемножении

$$exp\left\{\int\limits _0^\xi \Sigma(\xi')d\xi'\right\}$$

и

$$\int\limits_{\xi}^{\xi_0}\tilde S(\xi)exp \left\{ -\int\limits_0^{\xi'}\Sigma(\xi'')d\xi'' \right\} d\xi'$$

.
Каким то образом мы заносим экспоненту под интеграл, не получается этот момент ясно представить.