применить оператор набла

[antoshka1303]

Мне нужно с этим выражением

$$ \varphi _2 = A\frac{{\bar \xi \bar r}} {\xi } + B\frac{{\bar \xi \bar r}} {{\xi r^3 }} $$ $$ \varphi _3 = \varphi _0 + C\frac{{\bar \xi \bar r}} {{\xi r^4 }} $$

провести сделующие действия
(A,B,C - константы)

$$ E_2 = - \nabla \varphi _2 $$ $$ E_3 = - \nabla \varphi _3 $$

У препода на доске получилось вот это(набрал то, что было написано на доске, может где-то препод ошибся?).

$$ E_2 = - A\frac{{\bar \xi }} {\xi } - B\left( {\frac{{\bar \xi }} {{r^3 }} - 3\left( {\bar \xi \bar r} \right)r^{ - 5} \bar r} \right) = - A\frac{{\bar \xi }} {\xi } - B\left( {\frac{{\bar \xi }} {{r^3 }} - 3\frac{{\left( {\bar \xi \bar r} \right)\bar r}} {{r^5 }}} \right) $$ $$ E_3 = \bar \xi - \frac{C} {\xi }\left( {\frac{{\bar \xi }} {{r^3 }} - 3\frac{{\left( {\bar \xi \bar r} \right)\bar r}} {{r^3 }}} \right) $$

Поясните, пожалуйста. Не понимаю в данном случае применение набла - оператора(градиета)

[shwedka]

Проверьте сначала


$\nabla(r^n)=n \overline{r}r^{n+2}$
разберитесь для разных значений n, тогда станет яснее

[antoshka1303]

shwedka писал(а):

Проверьте сначала


$\nabla(r^n)=n \overline{r}r^{n+2}$
разберитесь для разных значений n, тогда станет яснее

теперь я окончательно ничего не понимаю окуда появляются вектоа и что делать, если вектор стоит под знаком набла?

[shwedka]

Вектор НЕ стоит под знаком набла. Стоит его длина, функция трех переменных.
Запишите $r^n=(\sqrt{x^2+y^2+z^2})^n$
и найдите частные производные. Проверьте, что у $n \overline{r}r^{n-2}$ такие же компоненты

[LynxGAV]

antoshka1303 писал(а):

$$ \varphi _2 = A\frac{{\bar \xi \bar r}} {\xi } + B\frac{{\bar \xi \bar r}} {{\xi r^3 }} $$

Добавлю. Если вы имели ввиду эти вектора, то тут под знаком набла будет скалярное произведение. Предлагаю воспользоваться определением $\nabla = \vec i \frac{\partial}{\partial x} + \vec j \frac{\partial}{\partial y} + \vec k \frac{\partial}{\partial z}$, расписать скалярное произведение, расписать длину вектора и проделать заново.

[PSP]

LynxGAV писал(а):

antoshka1303 писал(а):

$$ \varphi _2 = A\frac{{\bar \xi \bar r}} {\xi } + B\frac{{\bar \xi \bar r}} {{\xi r^3 }} $$

Добавлю. Если вы имели ввиду эти вектора, то тут под знаком набла будет скалярное произведение. Предлагаю воспользоваться определением $\nabla = \vec i \frac{\partial}{\partial x} + \vec j \frac{\partial}{\partial y} + \vec k \frac{\partial}{\partial z}$, расписать скалярное произведение, расписать длину вектора и проделать заново.

Интересно,а если в $\nabla = \vec i \frac{\partial}{\partial x} + \vec j \frac{\partial}{\partial y} + \vec k \frac{\partial}{\partial z}$ переопределять $x,y,z$,
токак будет выглядеть оператор набла?

[незваный гость]

PSP писал(а):

Интересно,а если в $\nabla = \vec i \frac{\partial}{\partial x} + \vec j \frac{\partial}{\partial y} + \vec k \frac{\partial}{\partial z}$ переопределять x,y,z,
токак будет выглядеть оператор набла?

Вы имеете в виду обобщенные координаты или преобразование (например поворот) базиса?

[PSP]

незванный гость писал(а):

PSP писал(а):

Интересно,а если в $\nabla = \vec i \frac{\partial}{\partial x} + \vec j \frac{\partial}{\partial y} + \vec k \frac{\partial}{\partial z}$ переопределять x,y,z,
токак будет выглядеть оператор набла?

Вы имеете в виду обобщенные координаты или преобразование (например поворот) базиса?

Скорее обобщенные координаты : x'=f1(x,y,z),y'=f2(x,y,z),z'=f3(x,y,z) ...

[LynxGAV]

PSP Ортогональные?

[PSP]

LynxGAV писал(а):

PSP Ортогональные?

Нет,любые..Если б ортогональные,было бы,я думаю,проще,милая Альберта..

[antoshka1303]

shwedka писал(а):

Вектор НЕ стоит под знаком набла. Стоит его длина, функция трех переменных.
Запишите $r^n=(\sqrt{x^2+y^2+z^2})^n$
и найдите частные производные. Проверьте, что у $n \overline{r}r^{n-2}$ такие же компоненты

у меня вот, что получилось

\[ \nabla \left( {\left( {x^2 + y^2 + z^2 } \right)^{\frac{n} {2}} } \right) = n\left( {ix + jy + kz} \right)\frac{{\left( {x^2 + y^2 + z^2 } \right)^{\frac{n} {2}} }} {{\left( {x^2 + y^2 + z^2 } \right)}} = n\bar rr^{n - 1} \]

[Аурелиано Буэндиа]

antoshka1303 писал(а):

Мне нужно с этим выражением

$$ \varphi _2 = A\frac{{\bar \xi \bar r}} {\xi } + B\frac{{\bar \xi \bar r}} {{\xi r^3 }} $$

Поясните, пожалуйста. Не понимаю в данном случае применение набла - оператора(градиета)

Вам нужно изучить всего три трюка:
1) $\nabla f(r)=f'(r) \vec{r}/r$
2) $\nabla (\vec{a},\vec{r})=\vec{a}$
3) $\nabla f(\vec{r})g(\vec{r})=f(\vec{r})\nabla g(\vec{r})+g(\vec{r})\nabla f(\vec{r})$
И после этого все станет элементарно

[Аурелиано Буэндиа]

antoshka1303 писал(а):

n\left( {ix + jy + kz} \right)\frac{{\left( {x^2 + y^2 + z^2 } \right)^{\frac{n} {2}} }} {{\left( {x^2 + y^2 + z^2 } \right)}} = n\bar rr^{n - 1} \]

Ошибка в том, что $n/2-1=(n-2)/2$, а не $(n-1)/2$

[antoshka1303]

Аурелиано Буэндиа писал(а):

antoshka1303 писал(а):

n\left( {ix + jy + kz} \right)\frac{{\left( {x^2 + y^2 + z^2 } \right)^{\frac{n} {2}} }} {{\left( {x^2 + y^2 + z^2 } \right)}} = n\bar rr^{n - 1} \]

Ошибка в том, что $n/2-1=(n-2)/2$, а не $(n-1)/2$

а разве не так ?

\[ n\left( {ix + jy + kz} \right)\left( {\left( {x^2 + y^2 + z^2 } \right)^{\frac{n} {2} - 1} } \right) = n\bar r\left( {\frac{{\left( {x^2 + y^2 + z^2 } \right)^{\frac{n} {2}} }} {{\left( {x^2 + y^2 + z^2 } \right)}}} \right) = n\bar rr^{n - 1} \]

[Елена К]

$n\bar r \left( {\frac{{\left( {x^2 + y^2 + z^2 } \right)^{\frac{n} {2}} }} {{\left( {x^2 + y^2 + z^2 } \right)}}} \right) = n\bar r \left( \frac{(r^2)^{\frac{n}{2}}}{r^2} \right)$