Ограничение на параметр в неравенстве

[juna]

На практике возникла такая задача.
Некто измеряет величину $\frac{a_1+a_3+a_5+...+a_{2n-1}}{a_2+a_4+a_6+...+a_{2n}}$. Мне доступны только величины $e_1=\frac{a_1}{a_2},e_2=\frac{a_3}{a_4},e_3=\frac{a_5}{a_6},...,e_n=\frac{a_{2n-1}}{a_{2n}}$.
$\forall i: e_i$ - правильная дробь из положительных действительных чисел в качестве числителя и знаменателя.
Как, зная только доступные мне величины, подобрать такое наибольшее $k$, чтобы
$k\cdot ( e_1+e_2+e_3+...+e_n)\leq \frac{a_1+a_3+a_5+...+a_{2n-1}}{a_2+a_4+a_6+...+a_{2n}}$
Мои попытки: легко понять, что
$1+\sum\limits_{i\not = j,\\i=1,\\j=1}^{n}\frac{e_i}{e_j}\leq \frac{1}{k}$
Но можно ли точнее? Например, подобрать такое $d<n$, что $\frac{1}{k}\geq 1+\frac{1}{d}\cdot\sum\limits_{i\not = j,\\i=1,\\j=1}^{n}\frac{e_i}{e_j}$

[garin99]

Если интерпретировать $e_1,e_2,e_3,...,e_n$ как координаты точек на прямой, а $a_2,a_4,a_6,...,a_{2n}$ массы этих точек, то $\frac{a_1+a_3+a_5+...+a_{2n-1}}{a_2+a_4+a_6+...+a_{2n}}$ центр масс системы этих точек. В худшем для k случае масса точки с минимальной координатой несоизмеримо больше суммы масс всех остальных точек, тогда центр масс практически находится в этой точке. Следовательно,
$\frac{\min(e_1,e_2,e_3,...,e_n)}{ e_1+e_2+e_3+...+e_n} $ наилучшая оценка для k с сохранением требуемого неравенства.

[juna]

Спасибо за ответ.
Если бы это была математическая задача, я был бы вполне удовлетворен.
Но моя задача - как зная $e_1,e_2,...e_n$ оценить, по-Вашему, координату центра масс. А в большинстве практических случаев $min(e_1,e_2,...e_n)$ существенно меньше центра масс.
Поэтому и ставилась задача найти такое $d=f(e_1,e_2,...,e_n)$.

[garin99]

Интерпретация в данном случае лишь способ решения. Если необходимо подобрать такое наибольшее $k$, чтобы заведомо выполнялось $k\cdot ( e_1+e_2+e_3+...+e_n)\leq \frac{a_1+a_3+a_5+...+a_{2n-1}}{a_2+a_4+a_6+...+a_{2n}}$, то $\frac{\min(e_1,e_2,e_3,...,e_n)}{e_1+e_2+e_3+...+e_n}$ наилучшая оценка для $k$. Иначе нельзя гарантировать выполнение неравенства. Если $k$ взять большим чем $\frac{\min(e_1,e_2,e_3,...,e_n)}{e_1+e_2+e_3+...+e_n}$, то всегда можно подобрать $a_k:\ \ e_1=\frac{a_1}{a_2},e_2=\frac{a_3}{a_4},e_3=\frac{a_5}{a_6},...,e_n=\frac{a_{2n-1}}{a_{2n}}$ так чтобы $k\cdot ( e_1+e_2+e_3+...+e_n)> \frac{a_1+a_3+a_5+...+a_{2n-1}}{a_2+a_4+a_6+...+a_{2n}}$.

[juna]

Я согласен с Вами, можно зафиксировать $e_1,e_2...,e_n$ и варьируя $a_i$ перескочить через любое наперед заданное значение для правой части неравенства. Так что информации о $e_1,e_2,...,e_n$ оказывается недостаточно, чтобы получить более точную оценку.
Только мне для практической задачи такая оценка не подходит.