Поиск количества решений матричного ур-я Риккати

[Егор Самосский]

Здача: найти все $(n * n)$ матрицы $P$, удовлетворяющие уравнению: $P^2 + P^TB + B^TP + C = 0$, где $B$ - произвольная $(n * n)$ матрица, $C$ - симметрическая $(n * n)$ матрица.
Что сделано: рассмотрел матрицу $A=$$ \left( \begin{array}{cc} -B & -E \\ C & B^T \end{array} \right)$ размера $(2n * 2n)$.
Теорема: пусть $P_0$ является решением исходного ур-я, тогда подпространство вида $L_P_0=[z \in \mathbb{R}^{2n}: z=(x,Px), x \in \mathbb{R}^n]$ является инвариантным подпространством оператора $A$.
Доказательство: $ A \left( \begin{array}{cc} x \\ Px \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} -Bx-Px \\ Cx+B^TPx \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} -Bx-Px \\ P(-Bx-Px) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} y \\ Py \end{array} \right)$, где $y=-Bx-Px$ в силу равенства $C+B^TP=-PB-P^2$.
Из этой теоремы делаю вывод, что ЕСЛИ ВСЕ СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ МАТРИЦЫ $A$ РАЗЛИЧНЫ(Т.Е. НЕТ КРАТНЫХ КОРНЕЙ ХАР-ОГО УР-Я), то у матрицы $A$ будет конечное число различных инвариантных подпространств размерности $n$ и все их можно найти, приводя матрицу к базису из собственных векторов и пар векторов, линейная оболочка которых инвариантна оператору $A$. Среди этих подпространств нужно найти те, которые однозначно проектируются на линейную оболочку первых $n$ базисных векторов в $\mathbb{R}^{2n}$.

А теперь, собственно, мой вопрос: а что же делать со случаем, когда кратные корни все-таки есть??? Как тогда искать все решения?? Как оценить их количество? Буду очень благодарен за любые советы, комментарии и мнения!!

[Полосин]

В вашем доказательстве инвариантности неточность: $(C+B^TP)x=-(P^2+P^TB)x\ne-P(P+B)x$. Возможно, требовалось решить уравнение $P^TP+P^TB+B^TP+C=0$? Последнее уравнение заменой $S=P+B$, $F=B^TB-C$ сводится к уравнению $S^TS=F$. Если $F<0$, то решений нет, иначе $S=Q\sqrt{F}$, где $Q$ - произвольная ортогональная матрица.

[Алексей К.]

Могу лишь сообщить, что имеется книга А.И.Егоров. Уравнение Риккати. Одна глава, по-моему, посвящена матричным уравнениям. Если она Вам неизвестна и желательна, поищите в Интернете (я находил когда-то).

[ewert]

Полосин писал(а):

Если $F<0$, то решений нет

Опечатка: имелось в виду "если $F\not\geqslant0$".

Полосин писал(а):

, иначе $S=Q\sqrt{F}$, где $Q$ - произвольная ортогональная матрица.

Если матрица $F$ строго положительна, то безусловно. А вот если она вырождена, то не уверен; мне кажется, что там произвол больше. Хотя могу и ошибаться.

[Егор Самосский]

Полосин писал(а):

В вашем доказательстве инвариантности неточность: $(C+B^TP)x=-(P^2+P^TB)x\ne-P(P+B)x$. Возможно, требовалось решить уравнение $P^TP+P^TB+B^TP+C=0$? Последнее уравнение заменой $S=P+B$, $F=B^TB-C$ сводится к уравнению $S^TS=F$. Если $F<0$, то решений нет, иначе $S=Q\sqrt{F}$, где $Q$ - произвольная ортогональная матрица.

Нет, здесь я имел в виду именно уравнение $P^2+P^TB+B^TP+C=0$, но забыл уточнить, что таким образом можно искать только симметрические его решения. Что же касается уравнения $P^TP+P^TB+B^TP+C=0$, то его я тоже рассматривал, и, действительно, его общее решение имеет вид $P=-B+U\sqrt{B^TB-C}$, где $U$ - произвольная ортогональная матрица, при условии, что матрица $B^TB-C$ - симметрическая, неотрицательно определенная.

Добавлено спустя 4 минуты 37 секунд:

Алексей К. писал(а):

Могу лишь сообщить, что имеется книга А.И.Егоров. Уравнение Риккати. Одна глава, по-моему, посвящена матричным уравнениям. Если она Вам неизвестна и желательна, поищите в Интернете (я находил когда-то).

Благодарю за ссылку! Книжку скачал, изучаю... Но пока ничего полезного для моей конкретной задачи выудить не получается, там больше расписана дифференциальная составляющая уравнений Риккати.
Но все равно большое спасибо, так как за последнее время я просмотрел много литературы на данную тематику, но о существовании этой книжки до сих пор не знал...

[Полосин]

Если вы ищете только симметрические решения, то зачем тогда писать $P^T$?