ряд Фурье с заданным граничным условием

[wowec]

Для приближённого решения некоторой задачи требуется неизвестную функцию на отрезке от 0 до $l$ представить в виде суммы $n$ заданных функций (например, членов ряда Фурье) с неопределёнными коэффициентами. При этом надо обеспечить выполнение граничных условий: сама функция и её производная на левом конце равны нулю, на правом конце никаких ограниченей нет. Пытаюсь это сделать так: представляю функцию рядом Фурье и обрываю его на $n$-м члене: $f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{i=1}^{n}(a_i\cos\frac{2\pi x}{l}+b_i\sin\frac{2\pi x}{l})$. После этого приравниваю эту сумму и её производную при $x=0$ нулю, из чего получаются такие условия: $a_0=-2\sum_{i=1}^{n}a_i$ и $\sum_{i=1}^{n}ib_i=0$. Таким образом, приближённое представление функции, например, при $n=1$ будет $f(x)=-a_1}+a_1\cos\frac{2\pi x}{l}$, а при $n=2$ будет $f(x)=-a_1-a_2+a_1\cos\frac{2\pi x}{l}-2b_2\sin\frac{2\pi x}{l}+a_2\cos\frac{4\pi x}{l}+b_2\sin\frac{4\pi x}{l}$. Однако, обе эти суммы при $x=l$ тоже оказываются равными нулю, чего по условию не должно быть (т.к. ф-я на правом конце должна быть произвольной). Укажите, пож-та, где тут ошибка или просто каким должен быть результат в данном примере. К сожалению, в литературе методики такого разложения что-то не могу найти.

[Henrylee]

wowec писал(а):

Однако, обе эти суммы при $x=l$ тоже оказываются равными нулю, чего по условию не должно быть (т.к. ф-я на правом конце должна быть произвольной).

Ну а чего ж Вы хотите? Конечная сумма Фурье у Вас $l$-периодичная функция. Вот и совпадают значения. И чем Вам это ненравится, если "ограничений на значения в правом конце отрезка нет"? Ну возьмите отличное от Фурье разложение какое-нибудь.

[мат-ламер]

Согласен с предыдущим ответом. Вы всё сделали правильно. Просто для Вашей задачи выписанный Вами ряд не очень подходит. Можно попробовать слегка исправить его, добавив член, линейно зависящий от x (а может даже и квадратично), а можно попробовать вообще отказаться от рядов Фурье, а применить, скажем, ряд Тейлора, сплайны или что-нибудь ещё.

[wowec]

Спасибо, в принципе стало понятно. В связи с этим пришла мысль: а если в исходной формуле частичной суммы ряда Фурье заменить $l$ на $(l+\Delta l)$, т.е. период ряда сделать чуть-чуть больше, чем используемая в задаче длина отрезка - это будет уже то что надо или качественно проблема останется той же самой?

[мат-ламер]

Тут ответ зависит от того, что Вы хотите. Если Вы хотите приблизить функцию вообще, а точность аппроксимации Вас не волнует, то так действовать можно. Ну а если хотите аппроксимировать функциию по-точнее, то тут надо смотреть конкретно.

Добавлено спустя 3 минуты 6 секунд:

Поскольку Вы пишите

Цитата:

Для приближённого решения некоторой задачи

, то предложенный способ как-то не смотрится.

Добавлено спустя 1 час 28 минут 41 секунду:

Период ряда надо сделать ни чуть больше, а солидно больше - процентов на 30, чем длина отрезка. Причём их длины лучше сделать несоизмеримыми (отношение иррациональное).

[Полосин]

Все это выглядит очень подозрительно. Почему выбраны именно тригонометрические функции? Чем плохи, например, функции $x^2$, $x^3$, ..., $x^{n+1}$? Что понимается под приближенным решением задачи? Может быть, искомая функция должна удовлетворять какому-нибудь дифференциальному уравнению? Проясните суть задачи.

[wowec]

Это учебная задачка для иллюстрации применения метода Ритца (т.е. подстановки заданного приближённого представления неизвестной функции в вариационный принцип), рассматривается простая сопроматовская задача поперечного изгиба балки. Балка на левом конце заделана, а на свободном правом приложена нагрузка. Неизвестная функция - смещения точек балки в поперечном направлении. Т.е. на правом конце в результате и должно быть максимальное значение у функции. Разложение в ряд Фурье выбрано из тех соображений, чтобы поменьше объяснять студентам, что это такое (про ряд Фурье они должны знать). Степенные функции не выбраны, т.к. эта система "плохая" (неортогональная), а про ортогональные полиномы (типа Лежандра, Чебышёва) им надо будет ещё что-то рассказывать, отвлекаясь от собственно темы занятия. Хотя, это, конечно, не принципиально - до четверга у меня есть время подумать. Спасибо за дискуссию - помогает.

[мат-ламер]

Лично моё мнение, что ряды Фурье не самый лучший аппарат приближения для этой задачи. Если Вы будете приближать разрывную функцию рядом Фурье, то вы получите значительные всплески вблизи точек разрыва. Я не силён в механике, но вроде эта задача допускает точное решение в виде многочлена четвёртой степени. Поэтому логично выглядит использование степенных функций (ограничиться максимум четвёртой степенью). Ну и что, что они неортогональные. Вы получите систему из пяти уравнений с пятью неизвестными (а с учётом граничных условий - итого меньше). Решать её можно на компьютере. А вообще замоделируйте на компьютере разные методы. Будет любопытно сравнить их эффективность.

[nckg]

Возможно подойдёт ещё такой метод: продолжить функцию для $x<0$ чётным образом и искать её в виде ряда Фурье по косинусам на "удвоенном отрезке" $[-l,l]$

[Полосин]

Задача может быть записана в виде дифференциального уравнения (изгиба балки) с краевыми условиями. В простейших (т.н. модельных) случаях такие уравнения решаются явно. Таким образом, функции вовсе не произвольны.

[wowec]

Да, так и есть - это простейшая задача, у которой легко получить точное решение. Спасибо, коллеги, идей накидали. Кажется, таки удалось что-то осознать по проблеме. Просто как-то усвоилось ещё со времён учёбы в вузе, что в ряд Фурье можно разложить произвольную, даже разрывную функцию, а тут такая нестыковка вылезает. Всё ж таки, ряд Фурье и сумма его конечного числа слагаемых - не одно и то же