Методы вычисления $\pi$

[Профессор Снэйп]

Какие на данный момент известны методы вычисления числа $\pi$ с наперёд заданной точностью? Если через ряд, то какой ряд сходится к $\pi$ (или к числу, выражаемому достаточно простой функцией от $\pi$) быстрее всего? Мне, к стыду моему, известен только ряд

$$ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6} $$

но он вроде сходится очень медленно.

А если не через ряд? Я знаю, что Архимед вычислял $\pi$, вписывая в окружность и описывая вокруг окружности правильные многоугольники. Насколько это эффективно? Там приходится синусы и косинусы считать для вычисления периметров, но для них-то как раз ряды сходятся очень быстро.

В общем, хотелось бы узнать мнение форумчан по данному вопросу.

[MaximKat]

http://mathworld.wolfram.com/BBPFormula.html

[Профессор Снэйп]

MaximKat писал(а):

http://mathworld.wolfram.com/BBPFormula.html

Спасибо большое. Я процитирую формулу ряда из Вашей ссылки.

$$ \pi = \sum_{n=0}^\infty \left( \frac{4}{8n+1} - \frac{2}{8n+4} - \frac{1}{8n+5} - \frac{1}{8n+6} \right) \left( \frac{1}{16} \right)^n $$

Судя по множителю $1/16^n$, это дело должно сходиться потрясающе быстро. Кроме того, если брать запись $\pi$ в системе счисления с основанием, являющемся степенью двойки, то эта формула позволяет напрямую находить заранее заданный знак после запятой.

У меня возникает естественный вопрос, связанный с обсуждением в параллельной теме. Были ли формулы, подобные этой, известны в XIX веке?

[Nilenbert]

Так, расмотрим вписанные и описанные n-угольники. Их периметры соответствеено $2n\sin{\frac{\pi}{2n}}$ и $2n\tg{\frac{\pi}{2n}}$. Тогда $2n\sin{\frac{\pi}{2n}}<\pi < 2n\tg{\frac{\pi}{2n}}$. Погрешность определяется разностью $2n\tg{\frac{\pi}{2n}}-2n\sin{\frac{\pi}{2n}}=2n(\tg{\frac{\pi}{2n}}-\sin{\frac{\pi}{2n}})$. Используя формулу Тейлора получим, что $\tg{x}-\sin{x}=x+\frac{x^3}{3}-(x-\frac{x^3}{6})+O(x^5)=\frac{x^3}{2}+O(x^5)$. Значит $2n(\tg{\frac{\pi}{2n}}-\sin{\frac{\pi}{2n}})=2n(\frac{1}{2} (\frac{\pi}{2n})^3+O(\frac{1}{n^5}))=\frac{{\pi}^3}{8n^2}+O(\frac{1}{n^4})\approx \frac{4}{n^2}$
Значит Архимеду, чтобы вычислить $\pi$ с точность до 100 знаков, нужно было построить такой n-угольник, что $\frac{4}{n^2}=10^{-100}\Rightarrow n=2\cdot 10^{50}$

Есть статья в Википедии про эти вещи History_of_numerical_approximations_of_π

[ET]

Профессор Снэйп писал(а):

Судя по множителю $1/16^n$, это дело должно сходиться потрясающе быстро. Кроме того, если брать запись $\pi$ в системе счисления с основанием, являющемся степенью двойки, то эта формула позволяет напрямую находить заранее заданный знак после запятой.

У меня возникает естественный вопрос, связанный с обсуждением в параллельной теме. Были ли формулы, подобные этой, известны в XIX веке?

По ф-ле Мэчина считать не принципиально долшье, а она древняя

[Sonic86]

Можно порешать методом касательных уравнение $\sin^2x=0$ (а хотя нет, тут точка максимума), ну какое нибудь тригонометрическое типа $\sin x=\frac{1}{2}$ скорость сходимости метода касательных быстрее экспоненциального - порядка $exp(x^2)$.
А еще есть всякие цепные дроби - функции от пи.

[juna]

Самый быстро сходящийся ряд - это формула Рамануджана:
$\frac1\pi=\frac{\sqrt{8}}{9801}\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(4n)!(1103+26390n)}{(n!)^4396^{4n}}$
В книжке Жукова есть также формула Джонатана и Питера Борвейнов, но выписывать ее лень.

[Sonic86]

Че-то я не понял насчет ряда Рамануджана.
У него общий член экспоненциально уменьшается?

[Mr.Brain]

Добавлено спустя 1 минуту 27 секунд:

Я вот порозмышлял на досуге и обнаружил, что $pi=lim x*sin(180/x)$ при условии ,что x стремися к бесконечности. Если кому понравилось мое открытие напишите ответ.

[AD]

Mr.Brain в сообщении #184987 писал(а):

Если кому понравилось мое открытие напишите ответ.

Какой-то-там замечательный предел.

$$\lim_{x\to0}\frac{\sin x}x=1$$

. Разумеется, если $x$ мерять в радианах. Заменой переменных устанавливаем это Ваше открытие.

Вообще, могу предложить более точную формулу:

$$\pi=\lim_{x\to\infty}\frac{\pi x}{x}$$

. По сути, то же самое.

[Mr.Brain]

AD писал(а):

Mr.Brain в сообщении #184987 писал(а):

Вообще, могу предложить более точную формулу:

$$\pi=\lim_{x\to\infty}\frac{\pi x}{x}$$

. По сути, то же самое.

$$\pi=\lim_{x\to\infty}\frac{\pi x}{x}$$

єто не тоже самое, а бред сивой кобылы .

[Nxx]

Цитата:

У меня возникает естественный вопрос, связанный с обсуждением в параллельной теме. Были ли формулы, подобные этой, известны в XIX веке?

Нет, были открыты в конце 1990-х.

[AD]

Mr.Brain в сообщении #185076 писал(а):

$$\pi=\lim_{x\to\infty}\frac{\pi x}{x}$$

єто не тоже самое, а бред сивой кобылы .

В каком месте неверно?

[Brukvalub]

Mr.Brain в сообщении #184987 писал(а):

Я вот порозмышлял на досуге и обнаружил, что $pi=lim x*sin(180/x)$ при условии ,что x стремися к бесконечности. Если кому понравилось мое открытие напишите ответ.

Это неверно.
Поразмышляйте еще.

[bubu gaga]

Nilakantha (1450 - 1550)

$$ \frac{\pi}{4} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \dots $$

John Machin (1680 - 1751)

$$ \pi = 16 \arctan \frac{1}{5} - 4 \arctan \frac{1}{239} $$

где ряд для арктангенса

$$ \arctan x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \dots $$

Неизвестный автор (может Wallis)

$$ \frac{\pi}{4} = \int_0^1{ \sqrt{1 - t^2} \; dt } $$

Где биномиальная серия внутри интеграла раскладывается с помощью

$$ (1 + x)^a = 1 + ax + \frac{a(a - 1)}{2!}x^2 + \dots $$

Ramanujan (1887 - 1920)

$$ \frac{1}{\pi} = \frac{\sqrt{8}}{9801} \sum_n^\infty{ \frac{(4n)!}{(n!)^4} \frac{ (1103 + 26390n) }{396^{4n}} } $$

Вроде как именно последняя формула используется в современных вычисленияx