Помогите разобраться с построением примеров Добеши!

[fenix063]

Добрый день!
Помогите пожалуйста разобраться с построением примеров с использованием масштабирующей функции Добеши.

Допустим мы имеем какой-то сигнал $f, supp(f)\in [a,b]$,
а также мы имеем материнскую масштабирующую функцию Добеши (назовем ее так) $\phi(x)$.
Как зная все это, можно найти все коэффициенты разложения по функциям $\phi(x)^j_k=\sqrt{2^j}\phi(2^jx-k)$?
Дело в том, что $supp(\phi(x))\in[0,2N-1) $.

Если мы будем вычислять коэффициенты по формуле
$c^j_k=\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(x)\phi(2^jx-k)dx$, то у нас будут пропадать все, что выходит за рамки носителя функции $\phi$.

Буду очень благодарен за любую информацию!

[fenix063]

Кол-во коэффициентов $n = 2^m$.
Это необходимо для того, чтобы потом применить быстрый алгоритм.

[Андрей123]

У Вас проблема с вычислением интеграла. Если да, то какая именно?

[fenix063]

Интеграл я могу решить, проблема в другом!
Как получить все коэффициенты этого разложения так, чтобы было
$2^m$ коэффициентов.

[Borat]

Если речь идёт о вейвлетах Добеши, то у меня есть подозрение, что у Вас есть некоторое недопонимание мат. части. Смысла делать непрерывное преобразование вейвлетами Добеши нет, т.к. вейвлеты и масштабирующие функции Добеши не записать аналитически. Вейвлеты Добеши применяются для дискретного вейвлет преобразования. Посмотреть вкраце можно тут: http://en.wikipedia.org/wiki/Daubechies_wavelet
Из книг могу посоветовать Малла "Вейвлеты в обработке сигналов" (в отличие от классической книги Добеши, данная книга куда более прикладная)

[fenix063]

Я вообще-то хотел о другом узнать... С вычислением у меня все в порядке!

Borat писал(а):

Если речь идёт о вейвлетах Добеши, то у меня есть подозрение, что у Вас есть некоторое недопонимание мат. части. Смысла делать непрерывное преобразование вейвлетами Добеши нет, т.к. вейвлеты и масштабирующие функции Добеши не записать аналитически. Вейвлеты Добеши применяются для дискретного вейвлет преобразования.

И где вы здесь видите непрерывное вейвлет преобразование?
Вообще-то я описывал дискретное преобразование!

И если вы считаете, что интеграл нельзя посчитать, так как он не выражается аналитически, то вы ошибаетесь!!!

За ссылку спасибо!

[Cat]

А что если границы таким образом обрабатывать: $c_{j}(k+n)=c_{j}(k-n)$?

[Cat]

Вот у меня схожая проблема, fenix063, а в Вашем примере индекс $k$ в каком диапазоне меняется?
По поводу Вашей проблемы в книге Image processing and data analysis:
http://www.multiresolution.com/cupbook.pdf, мне встретились некоторые способы обработки границ носителя:

Как я писала выше;

$c(k+N)=c(k)$

$c(k+N)=c(N)$

[fenix063]

Пусть $supp f \in [a,b]$,
а также носитель масштабирующей функции $\phi(x) \in (0,2N-1]$

у меня получается следующая ситуация:

$c_k^j=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(x)\phi(2^jx-k)dx$
Делая преобразование $t=2^jx-k$ мы получаем:
$c_k^j=\frac{1}{2^j}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(\frac{t+k}{2^j})\phi(t)dt$
Так как носитель масштабирующей функции ограничен, то мы имеем
$c_k^j=\frac{1}{2^j}\int\limits_{0}^{2N-1}f(\frac{t+k}{2^j})\phi(t)dt$
Зная носитель функции $f$ мы можем узнать кол-во ненулевых коеффициентов

$a\leq \frac{t+k}{2^j}\leq b, 0\leq t \leq 2N-1$
Отсюда имеем 2^ja\leq k\leq 2^jb-2N+1

Запишем все в окончательном виде:
$c_k^j=\frac{1}{2^j}\int\limits_{0}^{2N-1}f(\frac{t+k}{2^j})\phi(t)dt$, $k=2^ja,..., 2^jb-2N+1$

Отсюда мы имеем кол-во коэффициентов, которые не образуют степень двойки.
Дополнять их нулями до нужного кол-ва, считаю не совсем корректным, так как при больших
$j$ будет огромное кол-во лишних коэффициентов.

Может кто подскажет как быть?

Если в моих рассуждениях кто-то видит ошибку, то поправьте меня пожалуйста.

[Cat]

А почему носитель масштабирующей функции берется как принадлежащий интервалу $(0,2N-1]$?

[fenix063]

Потому что я рассматриваю вейвлеты Добеши $N$-го порядка!
По определению они имеют такой носитель!

[fenix063]

Спасибо большое Cat за подсказку! одну проблему решил, теперь осталось интерпретировать все это...

[Cat]

fenix063, не за что! Я сама сейчас разбираюсь с дискретным вейвлет-преобразованием. Интересно было бы узнать какой именно Вы способ выбрали для представления коэффициентов.

Добавлено спустя 1 минуту 32 секунды:

Думаю, что как вариант можно, пользуюясь имеющимися коэффициентами на каждом уровне сглаживания, экстраполировать недостающие.

[fenix063]

Я использовал обработку границ коэффициентов при прямом и обратном Дискретном вейвлет преобразовании.
А насчет того, что мне не хватали коэффициенты, я просто добавил недостающе кол-во нулей.
Таким образом решил проблему с получением коэффициентов.

При использовании интегралов, для получения коэффициентов, происходит наиболее точное восстановление, чем рассматривать просто значения функции, на какой-либо сетке.

[Cat]

fenix063, я имела ввиду, что можно попробовать недостающие коэффициенты вместо нулей заменить на экстраполированные из имеющихся коэффициентов.