Уранение типа Пелля

[Руст]

Пусть A натуральное число без квадратов. Докажите, что единственным решением уравнения:

$$x^2-Ay^4=1$$

в целых числах является $x=\pm 1,y=0$ при условии, что у минимального решения $x_0^2-Ay_0^2=1$ число $y_0$ не является квадратом.

[maxal]

Ну, наверное, речь все-таки о минимальном ненулевом $y$ идет.

Как известно, общее решение уравнение Пелля

$$x^2 - Ay^2 = 1$$

дается формулой:

$$x_n - y_n\sqrt{A} = (x_1 - y_1\sqrt{A})^n,$$

где $y_1\ne 0$ - то самое минимальное (ненулевое) решение.
Исходная задача равносильно доказательству того, что если $y_1$ не является полным квадратом, то им не является и $y_n$ для всех $n\geq 1$.

[maxal]

Аналогичное утверждение для уравнения

$$x^2-Ay^4=-1$$

доказывается в статье
C.J.Hua, P.Voutier "Complete Solution of the Diophantine Equation $X^2+1=dY^4$ and a Related Family of Quartic Thue Equations". Journal of Number Theory 62(1), 1997, 71-99.
и это довольно серьезный результат, вряд ли уместный в качестве задачи. Неужели случай $+1$ сильно проще?

[Руст]

maxal писал(а):

Неужели случай $+1$ сильно проще?

Да проще. Из общего решения уравнения Пелля поллучается

$$y^2=y_n=y_0\sum_{k=0}^{[(n-1)/2]} C_n^{2k+1}(y_0^2A)^kx_0^{n-2k-1$$

- слева не квадрат, когда $y_0$ не квадрат.

[maxal]

Руст
А почему не квадрат?
Например, при $n$ кратном $y_0$ получается делимость на $y_0^2$...

[Руст]

Если $n=2^km$, m - нечётное.
Из $y_{2n}=2y_nx_n$ получаеm, что из $y_n$ - квадрат следует $y_mx_m$ (k чётное) квадрат или $2y_mx_m$ (k нечётное) квадрат. Если уже дошли до нечётного n, то дальнейшей спуск по нечётным простым делителям n одинаково сложен для случаев $x2-Ay^4=\pm 1$. Так что у меня сейчас появились сомнения, было ли у меня тогда решение, или я ошибался, думая, что оно у меня есть.