Сходимость последовательности

[Diom]

С первым \Delta_1 все ясно оно равно 0. Второе \Delta_2 тоже в общем то понятно — если взять в первой последовательности \beta=0,1тогда

$$\sum_{i} \Delta(i)_2 < \infty.$$

А вот как быть с \Delta_3

Добавлено спустя 33 минуты 5 секунд:

Посмотрите пожалуйста насколько правомочны такие рассуждения:
Рассмотрим уравнение:
y_{i+1}=\beta y_{i}+\triangle\left(i\right)
Тогда для определяемой им последовательности имеет место:

$$\sum y_{i}=y_{0}+\left(\beta y_{0}+\triangle\left(0\right)\right)+\left(\beta^{2}y_{0}+\beta\triangle\left(0\right)+\triangle\left(1\right)\right)+\cdots=$$

$$=\left(y_{0}+\left(\triangle\left(0\right)+\triangle\left(1\right)+\cdots\right)\right)\left(1+\beta+\beta^{2}+\cdots\right)<\infty$$

Тогда и для любой последовательности последовательности определяемой неравенством:
y_{i+1}\leq\beta y_{i}+\triangle\left(i\right)
это выполняется и подавно.

Добавлено спустя 35 минут 47 секунд:

Хорхе писал(а):

Diom писал(а):

Можно поинтересоваться откуда это взялось:

$$ \sum_{i} \Delta(i) < \infty. $$

Приснилось
Вот вопрос попроще. Пусть дана положительная числовая последовательность $\{\Delta(n),n\ge 0\}$. При каких условиях на нее можно утверждать, что всякая последовательность $\{x_n,n\ge 1\}$ (например, из банахова пространства), удовлетворяющая $\|x_n-x_{n+1}\|\le \Delta(n)$, сходится?

Здесь то все вроде бы просто. Видно что все x_{n+k} при любом k заключены в шаре с центром x_n и конечным радиусом \sum_{i=n} \Delta(i) причем этот радиус стремиться к 0 при стремлении n к бесконечности. Но вот как это применить к моему случаю?

[Хорхе]

Diom писал(а):

Здесь то все вроде бы просто. Видно что все x_{n+k} при любом k заключены в шаре с центром x_n и конечным радиусом \sum_{i=n} \Delta(i) причем этот радиус стремиться к 0 при стремлении n к бесконечности. Но вот как это применить к моему случаю?

Вы на правильном пути!
Теперь, я думаю, Вам вполне по силам ответить на этот вопрос самостоятельно

[Diom]

Всем спасибо Вроде бы во всем разобрался