Смещение системы координат

[gris]

Splendid писал(а):

Есть стандартная декартова система координат. В ней даны координаты четырех точек.
И даны координаты этих же четырех точек, только уже в новой системе. Как на основании этих данных рассчитать закон изменения координат.

Ага. Я, каюсь, немного в сторону ушёл. Ну так вот. Что такое закон изменения координат? Это квадратная матрица (в которой уже заложен угол поворота и растяжения) плюс вектор смещения, с помощью которой по старым координатам можно посчитать новые. В любом учебнике по линейной алгебре можно найти уже приводившуюся формулу пересчёта координат.
У Вас есть четыре точки. Их старые координаты и новые координаты. Эти координаты мы подставляем в формулу, матричное уравнение переводим в линейные и получаем систему из восьми уравнений с шестью неизвестными.

Она может иметь одно решение или несколько (если несовместна - то есть ошибка в условии). Несколько решений будет если точки располагаются на одной прямой, например.

[ewert]

Splendid в сообщении #184072 писал(а):

Как определить эту матрицу?

решая соответствующую систему из шести уравнений для шести неизвестных коэффициентов преобразования (которое, кстати, вовсе не называется движением, но это лишь кстати).

Можно подойти к задаче более сознательно. Допустим, мы следим за некоторой тройкой точек $A$, $B$, $C$ и их образами $A'$, $B'$, $C'$. Сделаем предварительно вспомогательные сдвиги, переводящие точку $A$ в начало координат и точку $A'$ -- тоже. Тогда надо лишь согласовать оставшуюся пару точек. Т.е. подобрать такое линейное (а не вообще аффинное) преобразование, которое переводит вектор $\overrightarrow{AB}$ в вектор $\overrightarrow{A'B'}$ и $\overrightarrow{AC}$ -- в $\overrightarrow{A'C'}$. А это -- стандартная задача по нахождению матрицы перехода от одного базиса к другому.

[Splendid]

и коэффициент растяжения\сжатия....

[ewert]

gris в сообщении #184076 писал(а):

Несколько решений будет если точки располагаются на одной прямой, например.

Только если все точки на прямой.

[gris]

Согласен. А матрица состоит из координат нового базиса в старом базисе(без учёта переноса начала координат).
И все вечно путаются, по строкам располагаются векторы базиса или по столбцам:)
В таких случаях весьма помогает рассмотрение аккуратного чертежа конкретного простого примера и проделывания всего руками ( с помощью головы, есссно)
Я имею ввиду, помогает пониманию самого принципа преобразования координат, а потом уже, конечно, чертить не нужно.

[Алексей К.]

Splendid в сообщении #184072 писал(а):

и еще...почему в приведенных уравнениях не учитывается угол поворота СК?

Учитывается: $x'=Ax+b$ означает

$$\left|\begin{matrix}x'\\y'\\z'\end{matrix}\right|= \underbrace{ \left|\begin{matrix} a_{11}& a_{12} & a_{13}\\ a_{21}& a_{22} & a_{23}\\ a_{31}& a_{32} & a_{33} \end{matrix}\right|}_{\text{здесь он! и ось поворота здесь же}} \cdot \left|\begin{matrix}x\\y\\z\end{matrix}\right|+ \left|\begin{matrix}b_1\\b_2\\b_3\end{matrix}\right| $$

[ewert]

У автора задача якобы двумерная.

[gris]

Вот пример. В прямоуголной системе координат я отмечаю точку $A(3;2)$.
Потом строю новую систему координат с базисом $\{(1;0), (3;2)\}$
В нем точка будет иметь координаты $A'(0;1)$
Как так получилось?

[Алексей К.]

ewert в сообщении #184083 писал(а):

У автора задача якобы двумерная.

А... не успеваю уследить. Тогда так:

$$\left|\begin{matrix}x'\\y'\end{matrix}\right|= \left|\begin{matrix} \hphantom{-}\cos\xi& \sin\xi\\ -\sin\xi& \cos\xi \end{matrix}\right| \cdot \left|\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right|+ \left|\begin{matrix}b_1\\b_2\end{matrix}\right| $$

[ewert]

нет, у него преобразование не обязательно ортогонально.

[Алексей К.]

Но у Вас косоугольный базис с ортами разной длины! Нарисуйте, и всё увидится.

Добавлено спустя 1 минуту 19 секунд:

ewert в сообщении #184087 писал(а):

нет, у него преобразование не обязательно ортогонально.

Что я успел строго отследить --- это что он на самом деле она!

Splendid в сообщении #183852 писал(а):

Буду очень благодарна!

[gris]

А вот как:

$\left(\begin{array}{ccc}3 \\ 2 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1 &3} \\ 0 & 2 \end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}0 \\ 1 \end{array}\right)+\left(\begin{array}{ccc}0 \\0 \end{array}\right)$

То есть правильно так:

$\left(\begin{array}{ccc}x \\ y \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}x' \\ y' \end{array}\right)+\left(\begin{array}{ccc}b_1 \\ b_2 \end{array}\right)$, где без штриха старые координаты, а со штрихом новые.

[Splendid]

Т.е., если я правильно поняла, то надо решить систему из 6 уравнений (составленную с использованием только трех точек, не лежащих на одной прямой), в которой будет 6 неизвестных - матрица А (2 на 2) и вектор b. И в элементы этой матрицы и вектора уже будут заложены и сдвиг, и масштабирование, и поворот?

[ewert]

Алексей К. в сообщении #184088 писал(а):

Что я успел строго отследить --- это что он на самом деле она!

Тогда возражение следует вроде как снять... Или не следует?...

[gris]

Только не надо путать преобразование координат при переходе к другому базису и преобразование координат при линейном преобразовании.

Совершенно верно, Splendid. Закон Вы получите в том виде, который Вы будете подразумевать.